సమబాహు త్రిభుజం: కూర్పుల మధ్య తేడాలు
Content deleted Content added
K.Venkataramana (చర్చ | రచనలు) దిద్దుబాటు సారాంశం లేదు |
K.Venkataramana (చర్చ | రచనలు) |
||
పంక్తి 28:
<br />
సమబాహు త్రిభుజంలో ఉన్నతులు, కోణ సమద్విఖండన రేఖలు, లంబ సమద్విఖండన రేఖలు మరియు మద్యగత రేఖలు అన్నీ మిళితములు.
==ఉపయోగించే పదాలు==
ఒక త్రిభుజం ''ABC'' లో భుజాలు ''a'', ''b'', ''c'' లు , అర్థ చుట్టుకొలత ''s'', వైశాల్యము ''T'', బాహ్య వృత్త వ్యాసార్థాలు ''r<sub>a</sub>'', ''r<sub>b</sub>'', ''r<sub>c</sub>'' ( ''a'', ''b'', ''c'' ల స్పర్శరేఖలు వరుసగా ), మరియు ''R'' మరియు ''r'' లు పరివృత్త మరియు అంతరవృత్త వ్యాసార్థాలు . ప్రతి సమబాహు త్రిభుజం ఈ క్రింది ఎనిమిది వర్గాలలో ఏదైనా ఒక దానికి పాటిస్తుంది. ఈ క్రింది లక్షణాలు కూడా సమబాహు త్రిభుజానికి చెందినవే.
===భుజములు===
*<math>\displaystyle a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca.</math><ref name=Andreescu/>
*<math>\displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\quad\text{(Lehmus)}</math><ref name=Cosmin/>
*<math>\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}.</math><ref>M. Bencze, Hui-Hua Wu and Shan-He Wu, "An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications", ''Research Group in Mathematical Inequalities and Applications'', Volume 11, Issue 1, 2008, [http://rgmia.org/papers/v11n1/equivalent.pdf]</ref>
===అర్థ చుట్టుకొలత===
*<math>\displaystyle s=2R+(3\sqrt{3}-4)r\quad\text{(Blundon)}</math><ref>G. Dospinescu, M. Lascu, C. Pohoata & M. Letiva, "An elementary proof of Blundon's inequality", ''Journal of inequalities in pure and applied mathematics'', vol. 9, iss. 4, 2008, [http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/220_08_JIPAM/220_08_www.pdf]</ref>
*<math>\displaystyle s^2=3r^2+12Rr.</math><ref>Blundon, W. J., "On Certain Polynomials Associated with the Triangle", ''Mathematics Magazine'', Vol. 36, No. 4 (Sep., 1963), pp. 247-248.</ref>
*<math>\displaystyle s^2=3\sqrt{3}T.</math><ref name=Alsina>Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B., ''When less is more. Visualizing basic inequalities'', Mathematical Association of America, 2009, pp. 71, 155.</ref>
*<math>\displaystyle s=3\sqrt{3}r</math>
*<math>\displaystyle s=\frac{3\sqrt{3}}{2}R</math>
===కోణములు===
*<math>\displaystyle A=B=C=60^\circ</math>
*<math>\displaystyle \cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=\frac{3}{2}</math>
*<math>\displaystyle \sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}=\frac{1}{8}.</math><ref name=Cosmin/>
===వైశాల్యం===
*<math>\displaystyle T=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}\quad\text{(Weizenbock)}</math><ref>Cam McLeman & Andrei Ismail, "Weizenbock's inequality", PlanetMath, [http://planetmath.org/encyclopedia/WeizenbocksInequality.html].</ref>
*<math>\displaystyle T=\frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{^{\frac{2}{3}}}.</math><ref name=Alsina/>
===పరివృత్త వ్యాసార్థము, అంతరవృత్త వ్యాసార్థము మరియు బాహ్య వృత్త వ్యాసార్థాలు===
*<math>\displaystyle R=2r\quad\text{(Chapple-Euler)}</math><ref name=Andreescu/>
*<math>\displaystyle 9R^2=a^2+b^2+c^2.</math><ref name=Andreescu/>
*<math>\displaystyle r=\frac{r_a+r_b+r_c}{9}.</math><ref name=Cosmin>Pohoata, Cosmin, "A new proof of Euler's inradius - circumrdius inequality", ''Gazeta Matematica Seria B'', no. 3, 2010, pp. 121-123, [http://rms.unibuc.ro/gazeta/gmb/2010/3/articol.pdf].</ref>
*<math>\displaystyle r_a=r_b=r_c.</math>
==సమాన కొలతలు===
మూడు రకాల కొలతలు సమబాహు త్రిభుజాలలో ఒకే విధంగా ఉంటాయి.:<ref>Byer, Owen; Lazebnik, Felix and Smeltzer, Deirdre, ''Methods for Euclidean Geometry'', Mathematical Association of America, 2010, pp. 36, 39.</ref>
* మూడు ఉన్నతుల పొడవులు సమానము.
* మూడు మధ్యగత రేఖల పొడవులు సమానము.
* మూడు కోణ సమద్విఖండన రేఖల పొడవులు సమానము.
===ఏకీభవించిన త్రిభుజ కేంద్రాలు===
ప్రతి త్రిభుజ కేంద్రము దాని [[గురుత్వ కేంద్రం]] తో ఏకీభవిస్తుంది. వివిధ త్రిభుజ కేంద్రాలు ఒకే దగ్గర ఏకీభవిస్తే అది సమబాహు త్రిభుజం అవుతుంది. ఒక త్రిభుజం సమబాహు అగుటకు దాని పరివృత్త కేంద్రము, అంతరవృత కేంద్రము కూడా ఏకీభవిస్తాయి. ఉన్నతులు, గురుత్వ కేంద్రము కూడా ఏకీభవిస్తాయి..<ref>Yiu, Paul, ''Notes on Euclidean Geometry'', 1998, p. 37, [http://www.math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeomeryNotes.pdf]</ref> It is also equilateral if its circumcenter coincides with the [[Nagel point]], or if its incenter coincides with its [[Nine-point circle#Other interesting facts|nine-point center]].<ref name=Andreescu>Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 70, 113-115.</ref>
===Six triangles formed by partitioning by the medians===
For any triangle, the three [[median (geometry)|medians]] partition the triangle into six smaller triangles.
*A triangle is equilateral if and only if any three of the smaller triangles have either the same perimeter or the same inradius.<ref name=Cerin>[http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200413.pdf Cˇerin, Zvonko, "The vertex-midpoint-centroid triangles", ''Forum Geometricorum'' 4, 2004: pp. 97–109.]</ref>{{rp|Theorem 1}}
*A triangle is equilateral if and only if the circumcenters of any three of the smaller triangles have the same distance from the centroid.<ref name=Cerin/>{{rp|Corollary 7}}
==జ్యామితీయ నిర్మాణము==
[[Image:Equilateral triangle construction.svg|200px|thumb|right|Construction of equilateral triangle with compass and straightedge]]
An equilateral triangle is easily constructed using a [[compass and straightedge]]. Draw a straight line, and place the point of the compass on one end of the line, and swing an arc from that point to the other point of the line segment. Repeat with the other side of the line. Finally, connect the point where the two arcs intersect with each end of the line segment
Alternate method:
Draw a circle with radius ''r'', place the point of the compass on the circle and draw another circle with the same radius. The two circles will intersect in two points. An equilateral triangle can be constructed by taking the two centers of the circles and either of the points of intersection.
The proof that the resulting figure is an equilateral triangle is the first proposition in Book I of [[Euclid's Elements]].
[[File:Equilateral_Triangle_Inscribed_in_a_Circle.gif|center]]
==సమాజం మరియు సంస్కృతిలో==
Equilateral triangles have frequently appeared in man made constructions:
*Some [[archaeological site]]s have equilateral triangles as part of their construction, for example [[Lepenski Vir]] in Serbia.
==వైశాల్యం యొక్క సమీకరణ ఉత్పాదన==
===పైధాగరస్ సిద్ధాంతం ఉపయోగించి===
The area of a triangle is half the base ''a'' times the height ''h'',
:<math>A = \frac{1}{2} ah.</math>
[[Image:30-60-90.svg|thumb|150px|An equilateral triangle with a side of 2 has a height of {{sqrt|3}} and the sine of 60° is {{sqrt|3}}/2.]]
The legs of the right triangle are half of the base and the height, while the hypotenuse is the side or base of the equilateral triangle. The height of an equilateral triangle can be found using the [[Pythagorean theorem]]
:<math>\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2.</math>
The equation can be rearranged to find the square of the height
:<math>h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2.</math>
The height is the square root of the equation. Thus
:<math>h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a.</math>
By substituting <math>h = {\tfrac{\sqrt{3}}{2}a}</math>, the formula for the area of an equilateral triangle can be derived according to
:<math>A = \frac{1}{2}a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.</math>
===త్రికోనమితి ఉపయోగించి===
Using trigonometry, the area of a triangle with any two sides ''a'' and ''b'', and an angle ''C'' between them is
:<math>A = \frac{1}{2} ab \sin C.</math>
Each angle of an equilateral triangle is 60°, so
:<math>A = \frac{1}{2} ab \sin 60^\circ.</math>
The sine of 60° is <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math>. Thus
:<math>A = \frac{1}{2} ab \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2</math>
since all sides of an equilateral triangle are equal.
==ఇవి కూడా చూడండి==
==మూలాలు==
<references/>
==ఇతర లింకులు==
*{{mathworld|title=Equilateral Triangle|urlname=EquilateralTriangle}}
{{బహుభుజులు}}
[[Category:త్రిభుజాలు]]
[[Category:త్రిభుజాల జ్యామితి]]
| |||