ఫెర్మా: కూర్పుల మధ్య తేడాలు

పియేర్ డి ఫెర్మా (Pierre de Fermat, 20 Aug 1601-)ఫ్రాంసు లోఫ్రాంసులో పుట్టేడు. తండ్రి, డామినీక్ ఫెర్మా, సామంతుడైన (తోలు) వ్యాపారస్తుడు కావడం వల్ల పియేర్ కి మంచి పాఠశాలలో విద్యాభ్యాసం చేసే అవకాశం లభించింది. కాని విద్యార్థి దశలో ఫెర్మా ప్రతిభావంతుడైన గణిత శాస్త్ర వేత్తగా పరిణతి చెందుతాడనుకోడానికి దాఖలాలు కనిపించలేదు.

ఇంట్లో పెద్దల ఒత్తిడి మీద సర్కారీ నౌకరీలో చేరేడు. ప్రజలు దాఖలు చేసుకున్న అర్జీలని పరీక్షించి వాటిలో యోగ్యత కలవాటిని ఎంపిక చేసి ప్రభువుకి దఖలు పరచే ఉద్యోగం అది. ఫెర్మా ఆ ఉద్యోగాన్ని ఎంతో దక్షతతో, సమర్ధవంతంగా నిర్వర్తించేడు.

ఫెర్మా న్యాయ విచారణా వ్యవస్థలో తీర్పరిగా కూడకూడా కొన్నాళ్లు పని చేసేడు. ఈ విధి నిర్వహణలో ఒక మత పురోహితుడికి - తన విద్యుక్త ధర్మాన్ని సరిగ్గా నిర్వర్తించలేదనే నేరంపై - "సజీవ దహన" (burning at the stake) శిక్ష విధించేడు కూడ.

ఇలా సమాజపు నిచ్చెన మెట్లు ఒకటీ ఒకటీ ఎక్కుతూ చివరికి తన పేరులో డి (de) అనే పట్టపు పేరు తగిలించుకునే హక్కు కూడకూడా సంపాదించుకున్నాడు. ఈ విజయాలన్నిటికి అతని చికీర్ష ఒక్కటే కారణం కాదు; దేశంలో ప్రజారోగ్య పరిస్థితులు కూడకూడా కొంతవరకు దోహదం చేసేయి. ఆ రోజుల్లో ప్లేగు మహామారి యూరప్ లోఐరోపాలో విస్తృతంగా వ్యాపించి ఎంతో మందిని పొట్టబెట్టుకుంది. ప్రభుత్వోద్యోగులు చనిపోయినప్పుడు ఆ ఖాళీలు భర్తీ చెయ్యాలి కదా. ఫెర్మా ప్లేగు వచ్చి కోలుకున్న వ్యక్తులలో ఒకడు కనుక ఖాళీ అవుతున్న ఆ పై ఉద్యోగాలలోకి జొరబడే అవకాశం ఇతనికి వచ్చింది.

ఆనాటి ప్రాంసులోని ఈతి బాధలలో పాడవుతూన్న ప్రజారోగ్య వాతావరణం ఒకటయితే అంతకంటె పాడుగా ఉన్న రాజకీయ వాతావరణం మరొకటి. ఫెర్మా ప్రాంతీయ శాసన సభకి నియామకం అయిన కొత్త రోజులలోనే కార్డినల్ రిచెలూ ప్రాంసుకి ప్రథానప్రధాన మంత్రిగా నియామకం పొందేడు. కుట్రలు, కుతంత్రాలు, వెన్ను పోట్లు రివాజుగా జరిగే ఆ రోజులలో ఫెర్మా జీవితం అసిధారా వ్రతంలా ఉండేది. "నొప్పింపక, తా నొవ్వక తప్పించుకు తిరుగువాడు ధన్యుడు సుమతీ" అన్న పద్యం లోని నీతి సారాన్ని అక్షరాలా ఆచరించి, ఫెర్మా తన పనులు తాను తల వంచుకుని చేసుకుంటూ, తీరిక సమయాలలో గణితంలో తారసపడే చిక్కు సమస్యలకి పరిష్కారాలు వెతికేవాడు. వృత్తి ప్రభుత్యోద్యోగం, వ్యావృత్తి గణితం. గణితాభిలాషి, గణితంలో ఔత్సాహితుడు అంటే ఇతనే అనే పేరు తెచ్చుకున్నాడు.

పదిహేడవ శతాబ్దపు మొదటి రోజులలో గణిత శాస్త్రం ఇంకా చీకటి యుగంలోనే ఉందనవచ్చు. ఆ రోజులలో గణిత శాస్త్రజ్ఞలకి పెద్దగా పరపతి ఉండేది కాదు. ఏదో అంకెలతో గారడీలు చేసే వాళ్ల కోవలో పరిగణించబడేవారు. [[గెలీలియో గెలీలి|గెలిలియో]] అంతటివాడికి పీసా విశ్వవిద్యాలయంలో గణితం చదవడానికి అవకాశం రాలేదు; ప్రయివేట్లు చెప్పించుకుని నేర్చుకున్నాడు. అంతవరకు ఎందుకు? యూరప్ఐరోపా ఖండం అంతటికీ ఒక్క [[ఆక్సఫర్డ్ విశ్వవిద్యాలయం]]లోనే గణితానికి ఒక శాఖ, ఒక పీఠం ఉండేవి.

ఫెర్మా నివసించిన ఊరు ప్యారిస్ కి దూరం కావడంతో ప్యారిస్ నగరంలో ఉన్న కొద్ది పాటి గణిత వేత్తలు (ఉ. పాస్కల్, మెర్సెన్) కూడకూడా అందుబాటులో ఉండేవారు కాదు.

ఫెర్మా ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలు జరిపిన వారిలో ఫాదర్ మెర్సెన్ ఒకరు; ఆయన ఫ్రాన్సులో తిరుగుతూ ఫెర్మాని తరచు కలుసునేవారు. ఫెర్మా స్నేహబృందంలో మెర్సెన్ ఒకరైతే "అరిథ్మెటికా" (Arithmetica) అనే పురాతన గ్రీకు గణిత గ్రంథం మరొకటని అభివర్ణించవచ్చు. మెర్సెన్ తో ఇంత పరిచయం ఉన్నప్పటికీ మెర్సెన్ వల్ల పూర్తిగా ప్రభావితుడు కాలేదు ఫెర్మా; తన ధోరణిలో తను సిద్ధాంతాలు - ఋజువులు చూపించకుండా కాగితాల మీద రాసి వదిలేసేవాడు. "ఋజువేది?" అని అడిగితే "నా బుర్రలో ఉంది" అని సమాధానమిచ్చేవాడు. తను ఆవిష్కరించిన సిద్ధాంతాలు ప్రచురించాలి అని కాని, వాటి వల్ల తనకి పేరు ప్రతిష్ఠలు రావాలని కాని అతనికి ఉండేది కాదు. దీనికి తోడు కొంత చిలిపితనం కూడకూడా ఉండేదేమో అప్పుడప్పుడు తన అనుయాయులని అల్లరి పెట్టే ఉద్దేశంతో సిద్ధాంతం రాసి, ఋజువు చూపించకుండా, "ఇది అవునో కాదో చెప్పుకో చూద్దాం!" అని సవాలు చేసి సమాధానం చెప్పేవాడు కాదు. రెనే డెకా అంతటివాడు ఫెర్మాని "గప్పాల గండడు" అనేవాడు.

ఇలా సమస్యని ఇచ్చి పరిష్కారం ఇవ్వకుండా అందరిని ఆటపట్టించడం "పిల్లికి చెలగాటం" లా ఉన్నా ఈ వింత ప్రవర్తనలో కొన్ని లాభాలు కూడా ఉన్నాయనుకోవచ్చు. ఒకటి, ప్రతీ సమస్యకీ పరిష్కారం రాస్తూ కూర్చుంటే బోలెడు సమయం వెచ్చించవలసి ఉంటుంది. ఆ సమయంలో కొత్త సమస్యలు సృష్టించవచ్చు కదా! రెండు, సమస్యలకి పరిష్కారాలు రాసి ఇచ్చేస్తూ ఉంటే తెలిసీ తెలియని ప్రతి అనామకుడూ వచ్చి వాద ప్రతివాదాలలోకి దింపొచ్చు.

తనంత తానుగా ఉత్తరాల ద్వారా సంభాషణలు కొనసాగించినది ఇద్దరితో మాత్రమే: మెర్సెన్, పాస్కల్. ఒక విధంగా, ఈ ఉత్తరాల ద్వారా, ఫెర్మా, పాస్కల్ సంభావ్యతా సిద్ధాంత (Probability Theory) సౌథానికి పునాదులు వేసేరనవచ్చు. ఎక్కువమందికి తెలియని మరొక విషయం ఏమిటంటే ఫెర్మా కేలుక్యులస్ కి వేసిన పునాదుల మీదే నూటన్ కేలుక్యులస్ మహా సౌధాన్ని నిర్మించేడు. ఈ విషయం నూటనే ఒప్పుకున్నాడన్న విషయం 1934 వరకు చాలమందికి తెలియనే లేదు; ఫెర్మాకి దక్కవలసిన గుర్తింపు దక్కలేదు.

కేలుక్యులస్ కీ సంభావ్య సిద్ధాంతానికీ ఫెర్మా వేసిన పునాదులకి ఆయన పేరు చరిత్రలో చిరస్థాయిగా నిలచిపోడానికి సరిపోతాయి. ఈ రెండింటితోపాటు సంఖ్యా సిద్ధాంతానికి (Number Theory) కూడకూడా ఫెర్మా మౌలికమైన పునాదులు చేసేరు.

ఫెర్మాకి గణితంలో గురువంటూ ఎవ్వరూ లేరు. అతని పరిశ్రమ అంతా డయొఫాంటెస్ రాసిన అరిథ్మెటికా (Arithmetica) అనే గ్రంథం చదువుకుని స్వయంకృషితో చేసినదే. ఆ గ్రంథం వెయ్యేళ్ల గణితసార సంగ్రహం. పైథోగరోస్, యూకిలిడ్ వంటి హేమాహేమీలు ఆవిష్కరించిన శాస్త్రం - ప్రత్యేకించి సంఖ్యా శాస్త్రం - అంతా ఆ గ్రంథంలో క్రోడీకరించబడి ఉంది. ఈ పుస్తకంలో "పులి-మేక-గడ్డిమేటు పడవలో నదిని దాటడం" వంటి గణిత ప్రహేళికలు వందకి పైగా కనిపిస్తాయి. ప్రతీ ప్రహేళికనీ ఒక క్రమ పద్ధతిలో పరిష్కరించి చూపుతాడు డయొఫాంటెస్. కాని అదేమి (దుర్) అదృష్టమో కాని ఈ పుస్తకం చదివి గణితం నేర్చుకున్న ఫెర్మాకి ఈ పుస్తకం క్రమబద్ధం చేసిన మంచి అలవాటు అబ్బలేదు. ఏదైనా క్లిష్టమైన సమస్య ఎదురైనప్పుడు దానిని పరిష్కరించే పద్ధతిని ఒక చిన్న కాగితం మీద ముక్తసరిగా మూడు ముక్కలలో సూచించి, దానితో కొన్నాళ్లు చెలగాటాలు ఆడి ఆ కాగితం ముక్కని చెత్త బుట్టలో పడేసేవాడు. అప్పుడప్పుడు, పక్కని కాగితం కనబడకపోతే, ఆ రాయదలుచుకున్నది ఆ పుస్తకం యొక్క ఉపాంతం ("మార్జిన్") లో గొలికేవాడు. ఇలా ఉపాంతం లోఉపాంతంలో రాసిన ఆణిముత్యాలు ఎన్నో తరవాత తరాలవారికి దొరికేయి.

అరిథ్మెటికా యొక్క రెండవ సంపుటంలో ఫెర్మాకి పైథాగరోస్ సిద్ధాంతానికి సంబంధించిన ప్రహేళికలు ఎన్నో కనిపించేయి. పైథాగరోస్ సిద్ధాంతం తెలియనివాళ్లు ఉండరంటే అది అతిశయోక్తి కాదు; చదవనేర్చిన ప్రతి వారికీ ఈ సిద్ధాంతో పరిచయం ఉంటుంది: ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం మీద నిర్మించిన చతురస్రపు వైశాల్యం మిగిలిన రెండు భుజాల మీద నిర్మించిన వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానం. ఉదాహరణకి మూడు భుజాల పొడుగులు 3, 4, 5 అయితే [[పైథాగరోస్ సిద్ధాంతం]] ప్రకారం

అవుతుంది కనుక ఈ {3,4,5} ని పైథాగొరోస్ త్రిపుటలు (Pythagoras triples) అంటారు. ఇటువంటి త్రిపుటలు ఇంకా ఉన్నాయా అన్న సందేహం రావడం సహజం. ఇటువంటి త్రిపుటలు అనంతమైనన్ని ఉన్నాయని ఋజువు చెయ్యడం కష్టం కాదు. కాని వీటిలో కొన్ని త్రిపుటలు కొన్ని ప్రత్యేక లక్షణాలని ప్రదర్శిస్తాయి. ఉదాహరణకి {20, 21, 29} అనే త్రయాన్ని "కుంటి త్రిపుటలు" అంటారు. ఇవి పైథాగరోస్ త్రిపుటలే:

వీటిని "కుంటి" అనడానికి కారణం ఈ త్రిభుజాన్ని బొమ్మలా గీసి, కర్ణం భూమి మీద పడేటట్లు అమర్చితే, 20, 21 పొడుగున్న (భుజాలు), ఎగుడు-దిగుడుగా, "కుంటి కాళ్లల్లా" కనిపిస్తాయి. ఇలా పైథాగరోస్ త్రిపుటలతో చెలగాటాలు ఆడుతూన్న సమయంలో ఫెర్మాకి చిన్న సందేహం వచ్చింది. పైథాగరోస్ సిద్ధాంతాన్ని

లా కాకుండా, కొద్దిగా మార్చి, ఈ దిగువ చూపిన విధంగా రాస్తే (అనగా 2 కి బదులు 3 వేసి రాస్తే)

ఏమవుతుందీ అని. ఎంత ప్రయత్నించి చూసినా x, y, z స్థానాలలో ఏ పూర్ణ సంఖ్య వాడినా పై సమీకరణం చెల్ల లేదు. అనగా ఘాతం స్థానం లోస్థానంలో 2 ఉంటే అనంతమైనన్ని పరిష్కారాలు ఉన్నాయి కాని, ఆ ఘాతం స్థానంలో 3, 4, 5,.... అలా మరే ఇతర పూర్ణాంకం వేసినా పై సమీకరణం చెల్లదు.

* Simon Singh, Fermat's Last Theorem, Harper Perennial, London, 2011, pp 37-7437–74, ISBN 13 978-1-84115-791-7