లియొన్‌హార్డ్ ఆయిలర్: కూర్పుల మధ్య తేడాలు

 

సంగీతంలో బొత్తిగా ప్రవేశం లేని వాళ్ళ ముందు [[మంగళంపల్లి బాలమురళీకృష్ణ]] పాండిత్యాన్ని వెయ్యి నోళ్ల కొనియాడితే అది బధిరశంఖన్యాయం అయినట్లే గణితంలో ప్రవేశం లేనివారి ఎదట లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ గొప్పతనాన్ని ప్రశంశించడం కూడా! సంగీతజ్ఞానం లేకపోయినా చాలమందికి బాలమురళీకృష్ణ గురించి తెలిసినట్లే, గణితలో ప్రవేశం లేకపోయినా మనకి రామానుజన్ గురించి కొద్దో గొప్పో తెలిసినట్లే, ఆయిలర్ ప్రతిభ కొద్దిగా చవి చూడడం మన కనీస ధర్మం.

ఆయిలర్ మనకి ప్రసాదించిన వాటిల్లో ఎన్నదగ్గది "ఆయిలర్ సమీకరణం." ఈ సమీకరణాన్ని గణితంలో అత్యంత సుందరమైన సమీకరణం" అని అభివర్ణిస్తారు. భౌతిక శాస్త్రంలో అయిన్‌స్టయిన్ ప్రతిపాదించిన <math>E = mc^2</math> ఎంత ప్రాచుర్యం పొందిందో గణితంలో ఈ "ఆయిలర్ సమీకరణం" అంత ప్రాచుర్యం సంతరించుకుంది. ఈ సమీకరణాన్ని ముందు ఈ దిగువ చూపెడుతున్నాను.

 

ఈ సమీకరణంలో మనకి మూడు రాశులు కనబడతాయి: వీటిల్లో ''e'' [[అనిష్ప సంఖ్య]] (irrational number), ''i'' అనేది [[సంక్లిష్ట సంఖ్య]] (complex number), <math> \pi </math> అనేది లోకోత్తర సంఖ్య (transcendental number). ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగు విద్యార్థులకి ఈ సమీకరణాన్ని నల్లబల్ల మీద రాసి దాని పరమార్థం వివరించడానికి ఒక బొమ్మ గీసి చూపించేవారు. "ఇది ఆయిలర్ సూత్రం, కంఠస్థం చేసెయ్యండి" అని చెప్పేవారు. ఈ బొమ్మలో కేంద్రం నుండి పరిధి వరకు గీసిన బాణం గీత ప్రతిఘడి దిశలో తిరుగుతూ, పడమర దిక్కుని చూపిస్తూ అక్కడ ఆగితే, బాణం గీతకి, x-అక్షానికి మధ్య కోణం 180 డిగ్రీలు ఉంటుంది కదా. అప్పుడు <math> \cos {\pi} = -1,</math> అవుతుంది, <math> \sin {\pi} = 0,</math> అవుతుంది, కనుక ఆయిలర్ సమీకరణం చెల్లుతుంది. దీని వెనక ఉన్న సూక్ష్మం అర్థం అయినా, అవకపోయినా ఈ సమీకరణం లేకపోతే ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగు విద్యార్థులకి రోజు గడవదు.

[[దస్త్రం:Euler's formula.svg|thumb|180px|A geometric interpretation of Euler's formula]]

ఆయిలర్ మనకి ఇచ్చిన మరొక సూత్రం పేరు "ఆయిలర్ బహుముఖ సూత్రం (Euler's polyhedral Law)"

 

ఏ కుంభాకార (convex) ఘనస్వరూపానికైనా ఆయ్‌లర్ సిద్ధాంతము (Euler’s theorem) అన్వయిస్తుంది. ఈ సిద్ధాంతము ప్రకారము శీర్షముల సంఖ్య (V) + ముఖముల సంఖ్య (F) – అంచుల సంఖ్య (E) = 2.

పట్టిక 1: ఆయ్‌లర్ సిద్ధాంతము

ఘనస్వరూపము శీర్షముల సంఖ్య(V) అంచుల సంఖ్య(E) ముఖముల సంఖ్య(V) ముఖముల ఆకారము

చతుర్ముఖి