గణితం: కూర్పుల మధ్య తేడాలు

'''గణిత శాస్త్రం, ''' లెక '''గణితం''' ([[గ్రీక్ భాష|గ్రీకు భాష]] యందు μάθημα ''máthēma'', "జ్ఞానం, అధ్యయనం, నేర్చుకొను") అనగా [[పరిమాణం|పరిమాణములు]], [[సంఖ్య|సంఖ్యలు]], [[గణిత నిర్మాణం|నిర్మానములు]], [[గణిత స్థలం|స్థలాలు]] మరియు, [[కలన గణితము|మార్పుల]] యొక్క నైరూప్య అధ్యయనము. దానికి సాధారణంగా అంగీకరింపబడిన నిర్వచనము లేదు.

గణిత శాస్త్రవేత్తలు క్రమాలను అన్వేషించి, వాటితో కొత్త ప్రతిపాదనలను రూపొందించుతారు. వారు ఆ ప్రతిపాదన యొక్క సత్యాన్ని లేక అసత్యాన్ని గణితశాస్త్ర ఆధరాలతో నిర్ధారిస్థారు. ఎప్పుడైతే గణిత నిర్మాణములు వాస్తవానికి మంచి నమూనాలు అవుతాయో, అప్పుడు గణిత తార్కికం ప్రకృతి యొక్క అంతర్దృష్టి లేక అంచనాలు అందించగలుతాయి. నైరూప్యత మరియు, తర్కం యొక్క వాడుకతో గణిత శాస్త్రం లెక్కించుట, గననము, కొలత, మరియు, భౌతిక వస్తువుల యొక్క ఆకారకదలికల క్రమబద్ధమైన అధ్యాయనము నుంచి అభివృద్ధి చెందినది. ఆచరణాత్మక గణితము లిఖిత రుజువులు ఉన్నప్పట్టి నుంచి మానవ కార్యకలాపముగా ఉనికిలో ఉంది. కొన్ని కఠిన గణిత సమస్యలు పరిష్కరించడానికి కావల్సిన పరిశోధన కోసము సంవత్సరాలు లేక శతాబ్దాలు కుడా పట్టువదలని విచారణ అవసరం అవుతుంది.

గ్రీకు గణిత శాస్తాలలో మొట్టమొదటిగా కఠినమైన వాదప్రతివాదనలు కనిపిస్తాయి, ముఖ్యముగా యూక్లిడ్ యొక్క ''ఎలిమెంట్స్''లో. జుసెప్పెజుసెప్పే పెయానో (కి.శ. 1858 - కి.శ. 1932), డేవిడ్ హిల్బెర్ట్ (కి.శ. 1862 - కి.శ. 1943) మరియు, చివరి 19వ శతాబ్దంలో సిద్ధాంతాలతో కూడిన వ్యవస్థలపై మార్గదర్శకత్వము వహించిన ఇతరులప్పటి కాలము నుంచి తగినట్టుగా ఎంచుకున్న సిద్ధాంతాలు మరియు, నిర్వచనాలు నుంచి కఠినమైన మినహాయింపులతో[డిడక్షన్స్] స్థాపించిన సత్యాలుగా గణిత పరిశోధనని చూడడం ఆచరం అయ్యింది. పునరుజ్జీవన కాలము వరకు గణిత శాస్త్రం యొక్క అభివృద్ధి సాపేక్షంగా నెమ్మదిగా సాగినా, సరికొత్త శాస్త్రీయ ఆవిష్కరణలతో సంకర్షణ చెందుతూ గణిత శాస్త్రం యొక్క నున్నుతన పద్ధతులు గణిత ఆవిష్కరణలు వెగంగా పెరగడానికి దారి తీసాయి, అది ప్రస్తుత కాలం వరకు కుడా సాగుతుంది.

గెలీలియో గలిలై (కి.శ. 1564 - కి.శ. 1642) "ఈ విశ్వము యొక్క భాషని నెర్చుకొని అందులోని గుణాలతో పరిచయాన్ని పెంచుకోమో, అప్పటి వరకు మనము దాన్ని చదవలేము. ఈ విశ్వము ఒక గణిత బాషలో రచించబడినది, దాని అక్షరాలు త్రిభుజాలు, వృత్తాలు మరియు, ఇతర రేఖాగణిత రూపాలు. గణితము లేనియడల ఈ విశ్వాన్ని అర్ధము చేసుకొనుట మనవ సాధ్యము కాదు. ఇవి లేకుంటే, ఒక చీకటి చిక్కుల దారిలో తిరుగుతున్నట్టే" అని అన్నారు. కార్ల్ ఫ్రెడ్రిక్ గాస్ (కి.శ. 1777 - కి.శ. 1855) గణిత శాస్త్రాన్ని "విజ్ఞానాల యొక్క రాణి" అన్నారు. బెంజమిన్ పెయర్స్ (కి.శ. 1809 - కి.శ. 1880) గణిత శాస్త్రము గూర్చి "అవసరమైన పరిష్కారాలకి అవసరమైన విజ్ఞానము" అని అన్నారు. డేవిడ్ హిల్బెర్ట్ గణిత శాస్త్రము గురించి "మనము యాదృచ్చికాల గురించి కాదు మాట్లాడేది. గణితము అసలు యాదృచ్చికంగా నిర్దేశించిచుకున్న నియమాలుతో నిర్ణయించబడేది కాదు. అది, ఒక అంతర్గత అవసరాన్ని కలిగియున్న సంభావిత వ్యవస్థే తప్ప ఇంకో రకముగా చుడలేము" అని అన్నారు. అల్బెర్ట్ ఐన్స్టీన్ (కి.శ. 1879 - కి.శ. 1955) "గణిత నియమాల వాస్తవికత వరకు వస్తే, అవి ఖచ్చితం కావు; వాటి ఖచ్చితత్వానికి వస్తే, ఆవీ వాస్తవాన్ని పరిగణలోకి తీసుకోవు" అని వ్యాఖ్యానించారు.

గణిత శాస్త్రం అనేక రంగాలలో ముఖ్యమైనది, అందులో ప్రకృతి శాస్త్రాలు, ఇంజనీరింగు, వైద్యము, ఆర్థిక-ద్రవ్య శాస్త్రలు మరియు, సామాజిక శాస్త్రాలు. అనువర్తిత గణిత శాస్త్రం[అప్ప్లైడ్ మ్యాథెమాటిక్స్] సరికొత్త గణిత విభాగాలకి దారి తీసింది, అందులో గణాంకాలు[స్టాటిస్టిక్స్] మరియు, ఆట సిద్దాంతము[గేం థియరి] లంటివి ఉన్నాయి. గణిత శాస్త్రవేత్తలు స్వచ్ఛ గణితముతో[ప్యూర్ మ్యాథెమాటిక్స్] కుడా పని చేస్తారు, అందులో గణితాన్ని దాని కోసం చెయ్యడము తప్ప వేరే అనువర్తిత[ప్రాక్టికాలిటి] ఆలోచన ఉండదు. అనువర్తిత గణితానికి మరియు, స్వచ్ఛ గణితానికి నిశ్చితమైన విశదీకరణము లేదు. తరచూ స్వచ్ఛ గణితానికి ఆచరణాత్మక ఉపయోగాలు కనుగొనబడతాయి.

'''త్రికోణమితి''' ముఖ్యముగా త్రిభుజములు వాటి సూత్రములు ఆధారముగా భుజాలను, కోణాలను కొలుచుటకు ఉపయోగించు శాస్త్రము. త్రికోణమితి యొక్క ఉపయోగాలు ఖగోళ శాస్త్రములోను, నిజజీవితములోను ఎన్నో చోట్ల ఉన్నాయి. నక్షత్రములు, గ్రహముల మధ్య దూరము లను అంచనా వేయడానికి త్రికోణమితిని ఉపయోగిస్తారు. త్రికోణమితిలో ప్రమేయాలు లంబ కోణ త్రిభుజము (లం.కో.త్రి.) ఆధారముగా నిర్వచించబడినవి. ఒక త్రిభుజములో 90 డిగ్రీలు ఉన్న కోణాన్ని [[లంబ]] కోణమనీ, 90 డిగ్రీలకంటెడిగ్రీలకంటే ఎక్కువ ఉంటే [[గురు]]కోణమనీ, 90 డిగ్రీలకంటెడిగ్రీలకంటే తక్కువ ఉంటే [[లఘు]]కోణమనీ అంటాము. ఒక త్రిభుజము లోని కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు. త్రిభుజములో ఒక కోణము 90 డిగ్రీలు ఉంటే ఆ త్రిభుజాన్ని [[లంబ కోణ త్రిభుజము]] అంటాము; ఒక కోణము గురు కోణమైతే దానిని [[గురు కోణ త్రిభుజము]] అంటాము; మూడు కోణాలూ లఘు కోణాలైతే దానిని [[లఘుకోణ త్రిభుజము]] అంటాము. ఒక త్రిభుజములో ఒక కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజాన్ని [[ఎదురు భుజము]] అనీ, కోణానికి ఇరు ప్రక్కలా ఉండే భుజాలను [[ఆసన్నభుజము]]లనీ అంటాము. లంబ కోణ త్రిభుజములో, లంబ కోణము కాని మిగిలిన రెండు కోణాలూ లఘుకోణా లని గమనిద్దాం.లంబకోణ త్రిభుజములో లంబకోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణాన్ని [[కర్ణము]] అని కూడా అంటాము.

* [[అకరణీయ సంఖ్యల సమితి]] [[Rational Numbers]]

* [[కరణీయ సంఖ్యల సమితి]] [[Irrational Numbers]]

మొదటి సారిగా George Boole గణిత సంజ్ఞలంటే ఏమిటో నిర్వచించాడు."ఒక స్థిరమైన అర్ధాన్ని సూచించేందుకు యాద్ధృచ్చికంగా ఏర్పాటై అట్లాగే ఏర్పడిన మిగతావాటితో నిర్ణీరన్యాయానుసారంగా సంయోగంపొందే గుర్తులు సంజ్ఞలు". Boole, Russel కంటే శతాబ్దాల క్రితమే గణిత సంజ్ఞలను నిర్వచించపోయినప్పటికీ, గణిత శాస్త్రానికి సంజ్ఞలకూగల సాన్నిహిత్యాన్ని శాస్త్రవేత్తలు గుర్తించారు.రాసులను వాటిమధ్య నిర్వచిత ప్రక్రియలను పరస్ప సంబంధాలను అరూప పద్ధతిలో ప్రస్ఫుటంగా, సంక్షిప్తంగా వివరించేందుకు సంజ్ఞలని వాడవలెనని, ఈలాంటి సంజ్ఞలతో వికసించే గణితాన్ని ఒక భాషగా ఎంచవచ్చునని ప్రాచీన శాస్త్రజ్ఞలు బాగా గుర్తించారు.

'''= (Is Equal to) ''' సంజ్ఞను ఇంగ్లాండులో క్రీ.శ. 1557లో Robert Recorde అనే గణితశాస్త్రజ్ఞుడు బీజగణితం మీద Whetstone of Wette అన్న పేరుతో ఒక పుస్తకం వ్రాస్తు == అనే సంజ్ఞను ప్రవేశపెట్టాడు. ప్రతిసారి Is Equal to అని వ్రాసేందుకు నాకు ఓపికలేదు కనుక దానికి బదులు == అనే పదబంధాన్ని వాడుతాను అన్నాడు. ఒకే పొడవు గల రెండు సమాంతర రేఖలు ఆరేఖలికిరువైపులా రెండు రాశులు, సమానలని సుచిస్తుంది. ఈ సంజ్ఞ సార్ధకంగాసార్థకంగా ఉన్నందువలన కొన్నాళ్ళకు దీన్ని గణితప్రపంచం ఆమోదించింది. దీని రూపం === నుండి కొన్నాళ్ళకు = గా మారింది. 1557లో ప్రవేశపెట్టిన ఈ సంజ్ఞ 1618నాటికి అందరి ఆదరనకుఆదరణకు పాత్రమయినది.

'''X (స్థిర-అవ్యక్త రాశులు''' Francois Vie'te ఫ్రాన్సు దేశంలో నాల్గవ హెన్రీ చేసేటప్పుడు ఉండిన న్యాయవాది. తను న్యాయవాదిగా గొప్ప పదవుల్ని అందుకొని రాచకార్యాల్లో నిమగ్నమై ఉండికూడా గణితశాస్త్ర అధ్యయాలని అలవరచుకొని శాస్త్రాభివృద్ధికి పాటిపడినాడు. ఈయన అవ్యక్త రాశులను ఇంగ్లీషు వర్ణమాల లోని అచ్చులద్వారా, స్థిరరాశులను హల్లుల ద్వారా సూచించడాన్ని ప్రారంభించాడు. తద్ద్వారా ఏదైనా సమీకరణాన్ని సార్వత్రిక రూపంలో వ్రాయడమనే పద్దతిపద్ధతి రూపొందింది. ఉదా: ax+e=O లో a, e లు స్థిరరాశులు, x అవ్యక్తరాశి. Rene Des Cartes ఈ పద్దతినేపద్ధతినే కొంత మార్చి అనుసరించాడు. వర్ణమాలలోని మొదటి అక్షరాలద్వారా అవ్యక్తరాసులని సూచించాడు. William Oughtred దాదాపు 150 సంజ్ఞలను ఎంతో ఉత్సాహంతో ప్రవేశపెట్టాడు.

'''+- (సంకలనం-వ్యవకలనం''' సమానతను సూచించే = కంటే 70సం.ముందే +- సంజ్ఞలు ప్రచారంలోకి వచ్చినవి. బ్రిటీషు గణిత శాస్త్రజ్ణుడు Johann Widman క్రీ.శ.1489లో అంకగణితం మీద ఒక గ్రంధాన్నిగ్రంథాన్ని వెలవరిస్తూ, ఆ గ్రంధంలోగ్రంథంలో మొట్టమొదటిసారిగా సాధారణ సంకలన వ్యవకలన ప్రక్రియలను సూచించేందుకు ఈ సంజ్ఞలను వాడాడు. బీజగణితపరంగా ఈ +- లను వాడినవాడు (క్రీ.శ. 1514) Vander Hoccke అనే డచ్ శాస్త్రజ్ఞడు.

'''X (గుణకారం) ''' William Oughtred మొట్టమొదటిసారిగా గుణకారాన్ని సూచించేందుకు X ను క్రీ.శ. 1631లో తాను రచించిన Clavis Mathematicae అనే గ్రంధంలోగ్రంథంలో వాడినాడు. కాని ఈ గుర్తును ఐరోపాఖండంలో శాస్త్రజ్ఞలు అంగీకరించలేదు. వారికి జర్మన్ గణితశాస్త్రవేత్త Leibniz ప్రవేశపెట్టిన తిలకం * చిహ్నమే నచ్చింది. రాను రాను X బాగా వ్యాప్తిలోకి వచ్చిన తరువాత తిలకం చిహ్నం వాడుక తగ్గినది.

'''÷ (భాగాహారం) ''' భాగాహారాన్ని సూచించే గుర్తుకూడా ఇంగ్లాండులో పుట్టి, ప్రచారానికి వచ్చి మెల్లగా ఐరోపాఖండానికి, అమెరికాకు వ్యాప్తించెందినది. మొట్టమొదట Johann.H.Rahn అనే గణిత శాస్త్రజ్ఞడు రచించిన బీజగణిత గ్రంధంలోగ్రంథంలో ఇది వాడబడినదివాడబడింది. కొందరు : ఈ గుర్తును కూడా భాగాహార ప్రక్రియకు వాడినట్లు మనకు గనితశాస్త్ర చరత్రలో దృష్టాంతాలు కనబడతాయి.

'''√ (వర్గమూలము) ''' మొట్టమొదట క్రీ.శ.1525లో Rudolff అనే గణితశాస్త్రవేత్త రచనల్లో ఈ సంజ్ఞ కనబడుతుంది. ఈయన రచనలకు సంపాదకుడిగా నిలచిన Michael Stifel మహాశయుడు వర్గమూలాన్ని, ఘనమూలాన్ని, నాల్గవమూలాన్ని సూచించేందుకు సంజ్ఞలను తెలియపరిచినాడుతెలియపరిచాడు. కాని అవి చిరకాలంగా లేకపోయినా Rudolff, Root అనే పదం ప్రతీతిగా నిలచినదినిలచింది.

''': : (నిష్పత్తి) ''' నిష్పత్తి, అనుపాతభావాన్ని సూచించే సంజ్ఞ : : ను క్రీ.శ.1628లో Oughtred ఉపయోగించినట్లు తెలుస్తోంది.

'''< > (హెచ్చుతగ్గులు) '''హెచ్చుతగ్గులను, క్రమసంబంధాన్ని (Order Relation) సూచించే < > సంజ్ఞలను క్రీ.శ.1631లో Harriot ప్రవేశపెట్టాడు.