విస్తీర్ణం: కూర్పుల మధ్య తేడాలు

పంక్తి 109:
====[[వృత్తము|వృత్తములు]]====
[[Image:CircleArea.svg|thumb|right|alt=A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram|A circle can be divided into [[Circular sector|sector]]s which rearrange to form an approximate [[parallelogram]].]]
వృత్తము యొక్క వైశాల్యమును గణించుటకు కూడా యిదే పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. ఒక {{math|''r''}} వ్యాసార్థం గల వృత్తాన్ని తీసుకొని దానిని అనేక సెక్టర్లుగా విడగొట్టాలి. పటంలో ఎనిమిది సెక్టర్లుగా విడగొట్టబడినది. ప్రతి సెక్టరు ఒక త్రిభుజాకారంలో యుంటుంది. ఈ సెక్టర్లను కత్తిరించి వాటిని ఒక సమాంతర చతుర్భుజంగా పేర్చితే దాని ఎత్తు వృత్త వ్యాసార్థం {{math|''r''}} కి సమానంగా యుంటుంది. మరియు వృత్త చుట్టుకొలత యొక్క సగభాగం అనగా {{math|π''r''}} సమాంతా చతుర్భుజం యొక్క భూమి అవుతుంది. అందువలన వృత్త వైశాల్యము , దాని సెక్టర్లతో యేర్పడిన సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యమునకు సమానం అనగా {{math|''r'' × π''r''}} లేదా{{math|π''r''<sup>2</sup>}}:<ref name=AF/>
The formula for the area of a [[circle]] (more properly called [[area of a disk]]) is based on a similar method. Given a circle of radius {{math|''r''}}, it is possible to partition the circle into [[Circular sector|sector]]s, as shown in the figure to the right. Each sector is approximately triangular in shape, and the sectors can be rearranged to form and approximate parallelogram. The height of this parallelogram is {{math|''r''}}, and the width is half the [[circumference]] of the circle, or {{math|π''r''}}. Thus, the total area of the circle is {{math|''r'' × π''r''}}, or {{math|π''r''<sup>2</sup>}}:<ref name=AF/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} π''r''<sup>2</sup>}} <big>&nbsp;(circleవృత్తము).</big>
ఈ డిసెక్షన్ విధానము ఉపయోగించడం వలన వైశాల్య విలువ సుమారు విలువ వచ్చినది. దీనిలో దోషం చాలా తక్కువ కలదు. సెక్టర్లను అతి చిన్నవి కత్తిరించితే దోషశాతం తగ్గుతుంది. సుమారు సమాంతర చతుర్భుజం గా ఉన్న వైశాల్యం యొక్క అవధి {{math|π''r''<sup>2</sup>}} అవుతుంది. అది వృత్త వైశాల్యమునకు సమానంగా ఉంటుంది.<ref name=Surveyor/>
Though the dissection used in this formula is only approximate, the error becomes smaller and smaller as the circle is partitioned into more and more sectors. The [[limit (mathematics)|limit]] of the areas of the approximate parallelograms is exactly {{math|π''r''<sup>2</sup>}}, which is the area of the circle.<ref name=Surveyor/>
 
ఈ వాదన కలనగణితం లో సాధారన అనువర్తనముగా యుంటుంది. ప్రాచీన కాలంలో వృత్త వైశాల్యమును కనుగొనుటకు ఈ కష్టమైన పద్ధతి ఉపయోగించేవారు. ఈ పద్ధతి ప్రస్తుతం "సమాకలన కలనగణితం" లో గుర్తింపు పొందినది. ఈనవీన పద్ధతి ఉపయోగించి సమాకలన పద్ధతుల ద్వారా వృత్త వైశాల్యమును ఈ క్రింది విధంగా గణించవచ్చు.
 
This argument is actually a simple application of the ideas of [[calculus]]. In ancient times, the [[method of exhaustion]] was used in a similar way to find the area of the circle, and this method is now recognized as a precursor to [[integral calculus]]. Using modern methods, the area of a circle can be computed using a [[definite integral]]:
:<math>A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2</math>
 
"https://te.wikipedia.org/wiki/విస్తీర్ణం" నుండి వెలికితీశారు