లియొన్‌హార్డ్ ఆయిలర్

లియొన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ (ఏప్రిల్ 15, 1707 – సెప్టెంబర్ 18, 1783) స్విట్జర్లాండుకు చెందిన ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, భౌతిక శాస్త్రజ్ఞుడు. ఆతను జీవితంలో చాలా కాలము రష్యా, జర్మనీ లలో గడిపెను.

లియొన్‌హార్డ్ ఆయిలర్
Portrait by Johann Georg Brucker
జననం	ఏప్రిల్ 15, 1707 బాసెల్, స్విట్జర్‌లాండ్
మరణం	సెప్టెంబర్ 18, 1783 సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్, రష్యా
నివాసం	ప్రష్యా రష్యా స్విట్జర్‌లాండ్
జాతీయత	స్విస్
రంగములు	గణితం, భౌతికశాస్త్రం
వృత్తిసంస్థలు	రష్యన్ అకాడెమీ ఆఫ్ సైన్సెస్ బెర్లిన్ అకాడెమీ
చదువుకున్న సంస్థలు	బాసెల్ విశ్వవిద్యాలయం

“రామానుజన్ అంతటి ఉద్దండ గణిత శాస్త్రవేత్త చరిత్రలో మరొకడు ఉన్నాడా?” అని వెతికితే మనకి ఆయిలర్ కనిపిస్తాడు. ఆయిలర్ "18వ శతాబ్దము లో అత్యున్నత గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు" గానే కాకుండా "సర్వ కాలముల లో ప్రపంచ గణితశాస్త్రజ్ఞూల లోనే మేటి" అని కూడా ఖ్యాతి గడించాడు. ఆతని ఎన్నో పరిశోధనా రచనలు సుమారు 60-80 పుస్తకాలను నింపి వేసినవి. ఆయిలర్ “నభూతో నభవిష్యతి” అని అనిపించుకునేంత ప్రతిభావంతుడు. ఇదంతా ఆయన గుడ్డివాడైపోయిన తరువాత జీవితం యొక్క చరమ దశలో కేవలం రెండు దశాబ్దాల కాలంలో చేసిన పని.

1753 portrait of Euler by Emanuel Handmann, which indicates problems with Euler's right eyelid, possibly strabismus. Euler's left eye, which here appears healthy, was later affected by a cataract.

లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ స్విట్జర్లండ్ దేశంలోని బేసెల్ అనే ఊళ్లో పుట్టేడు. పెరగడం రష్యాలోని సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ నగరం లోనూ, ప్రష్యాలోని బెర్లిన్ నగరంలోనూ. ఆయిలర్ ప్రతిభ వల్ల గణితశాస్త్రం ఎన్నో దిశలలో పురోభివృద్ధి చెందింది.

సంగీతంలో బొత్తిగా ప్రవేశం లేని వాళ్ళ ముందు మంగళంపల్లి బాలమురళీకృష్ణ పాండిత్యాన్ని వెయ్యి నోళ్ల కొనియాడితే అది బధిరశంఖన్యాయం అయినట్లే గణితంలో ప్రవేశం లేనివారి ఎదుట లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ గొప్పతనాన్ని ప్రశంశించడం కూడా! సంగీతజ్ఞానం లేకపోయినా చాలమందికి బాలమురళీకృష్ణ గురించి తెలిసినట్లే, గణితలో ప్రవేశం లేకపోయినా మనకి రామానుజన్ గురించి కొద్దో గొప్పో తెలిసినట్లే, ఆయిలర్ ప్రతిభ కొద్దిగా చవి చూడడం మన కనీస ధర్మం.

బాల్యం, విద్యాభ్యాసం

ప్రఖ్యాత స్విస్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఆయిలర్ గౌరవార్థము విడుదల చేసిన స్విస్ 10-ఫ్రాంకు ల నోటు

ఆయిలర్ బేసిల్, స్విట్జర్లాండుకు చెందిన పాల్ ఆయిలర్, మార్గరెట్ బ్రకర్ దంపతులకు జన్మించెను. పాల్ రిఫార్మ్డ్ చర్చిలో ఉపదేశకుడు కాగా, మార్గరెట్ ఒక ఉపదేశకుని కుమార్తె. లియొన్‌హార్డ్ కు ఇద్దరు చెల్లెళ్ళు. లియొనార్డ్ బాల్యములో చాలా భాగము రీహెన్ నగనములో గడిచింది. పాల్ బెర్నావులీ కుటుంబానికి మిత్రుడు కావడము వలన ఆప్పటి ఐరోపాలో ఆది గణితశాస్త్రజ్ఞుడిగా ప్రఖ్యాతి గడించిన జోహాన్ బెర్నావులీ ప్రభావము లియోన్‌హార్డ్ పైన బాగా పడింది. లియోన్‌హార్డ్ 13 సంవత్సరముల వయస్సులో మెట్రిక్యులేషన్ పూర్తి చేసి 1723 లో తత్వ శాస్త్రములో మాస్టర్స్ డిగ్రీ పూర్తి చేసెను. అప్పుడు లియోన్‌హార్డ్ తండ్రి ప్రోద్బలముతో ఉపదేశకునిగా మారుదామని వేదాంతము, గ్రీకు భాష, హిబ్రూ భాషలు చదువుచుండగా, జోహాన్ బెర్నావులీ లియోన్‌హార్డ్ లో అసాధారణ గణిత శాస్త్ర ప్రతిభని గుర్తించి (లియోన్‌హార్డ్ తండ్రి) పాల్ కు లియోన్‌హార్డ్ కు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా భవిష్యత్తు ఉందని నచ్చచెప్పి, చదువును గణితము పైకి మళ్ళించెను. 1726 లో లియోన్‌హార్డ్ శబ్దపు వేగము పై డాక్టరేటు(Ph.D. dissertation ) ను పూర్తి చేసెను.

ఆయిలర్ సమీకరణం

ఆయిలర్ మనకి ప్రసాదించిన వాటిల్లో ఎన్నదగ్గది "ఆయిలర్ సమీకరణం." ఈ సమీకరణాన్ని గణితంలో అత్యంత సుందరమైన సమీకరణం" అని అభివర్ణిస్తారు. భౌతిక శాస్త్రంలో అయిన్‌స్టయిన్ ప్రతిపాదించిన $E=mc^{2}$ ఎంత ప్రాచుర్యం పొందిందో గణితంలో ఈ "ఆయిలర్ సమీకరణం" అంత ప్రాచుర్యం సంతరించుకుంది. ఈ సమీకరణాన్ని ముందు ఈ దిగువ చూపెడుతున్నాను.

$e^{i\pi }=-1$

ఈ సమీకరణంలో మనకి మూడు రాశులు కనబడతాయి: వీటిల్లో e అనిష్ప సంఖ్య (irrational number), i అనేది కల్పన సంఖ్య (en:imaginary number), $\pi$ అనేది లోకోత్తర సంఖ్య లేదా బీజాతీత సంఖ్య(en:transcendental number). ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగు విద్యార్థులకి ఈ సమీకరణాన్ని నల్లబల్ల మీద రాసి దాని పరమార్థం వివరించడానికి ఒక బొమ్మ గీసి చూపించేవారు. "ఇది ఆయిలర్ సూత్రం, కంఠస్థం చేసెయ్యండి" అని చెప్పేవారు. ఈ బొమ్మలో కేంద్రం నుండి పరిధి వరకు గీసిన బాణం గీత ప్రతిఘడి దిశలో తిరుగుతూ, పడమర దిక్కుని చూపిస్తూ అక్కడ ఆగితే, బాణం గీతకి, x-అక్షానికి మధ్య కోణం 180 డిగ్రీలు ఉంటుంది కదా. అప్పుడు $\cos {\pi }=-1,$ అవుతుంది, $\sin {\pi }=0,$ అవుతుంది, కనుక ఆయిలర్ సమీకరణం చెల్లుతుంది. దీని వెనక ఉన్న సూక్ష్మం అర్థం అయినా, అవకపోయినా ఈ సమీకరణం లేకపోతే ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగు విద్యార్థులకి రోజు గడవదు.

A geometric interpretation of Euler's formula

ఆయిలర్ బహుముఖ సూత్రం

ఆయిలర్ మనకి ఇచ్చిన మరొక సూత్రం పేరు "ఆయిలర్ బహుముఖ సూత్రం (Euler's polyhedral Law)"

$V-E+F=2$

దీన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా తేలిక. ఉదాహరణకి నాలుగు ముఖాలు ఉన్న ఒక ఘన రూపాన్ని (tetrahedron) తీసుకుందాం. దీనికి నాలుగు శీర్షములు (vertices, V = 4), ఆరు అంచులు (edges, E = 6), నాలుగు ముఖాలు (faces, F = 4) ఉంటాయి. కనుక పైన చూపిన సమీకరణం చెల్లింది. ఇప్పుడు ఘనచతురస్రం (cube) ని తీసుకుందాం. దీనికి ఎనిమిది శీర్షములు (V = 8), 12 అంచులు(E = 12), ఆరు ముఖాలు (F = 6) ఉంటాయి. కనుక పైన చూపిన సమీకరణం మళ్ళా చెల్లింది. ఇలా ఏ ఘనరూపాన్ని తీసుకున్నా ఈ సమీకరణం చెల్లుతుంది. ఏ కుంభాకార (convex) ఘనస్వరూపానికైనా ఆయిలర్ సిద్ధాంతము (Euler’s theorem) అన్వయిస్తుంది. ఈ సిద్ధాంతము ప్రకారము శీర్షముల సంఖ్య (V) + ముఖముల సంఖ్య (F) – అంచుల సంఖ్య (E) = 2.

పట్టిక 1: ఆయ్‌లర్ సిద్ధాంతము

ఘనస్వరూపము	శీర్షముల సంఖ్య(V)	అంచుల సంఖ్య(E)	ముఖముల సంఖ్య(F)	ముఖముల ఆకారము
చతుర్ముఖి (tetrahedron)	4	6	4	సమత్రిభుజము equilateral triangle
ఘన చతురస్రము (cube)	8	12	6	సమచతురస్రము square
అష్టముఖి (octahedron)	6	12	8	సమత్రిభుజము
ద్వాదశముఖి (dodecahedron)	20	30	12	సమపంచభుజం pentagon
వింశతిముఖి (icosahedron)	12	30	20	సమత్రిభుజము

కినిస్బర్గ్ ఏడు వంతెనల సమస్య

Konigsberg_bridges

ప్రష్యాలోని కినిస్బర్గ్ నగరంలో ప్రేగెల్ నది ఉంది. ఈ నదీ గర్భంలో రెండు ద్వీపాలు ఉన్నాయి. మిగిలిన పట్టణానికి ఈ ద్వీపాలనీ కలుపుతూ 7 వంతెనలు ఉన్నాయి (బొమ్మ చూడండి). సమస్య ఏమిటంటే, ఒక చోట బయలుదేరి, ప్రతి వంతెన మీద ఒకే ఒక్క సారి నడచి బయలుదేరిన చోటుకి చేరుకోగలమా? "చేరుకోలేము!" అంటూ ఆయిలర్ ఈ సమస్యని 1736 లో పరిష్కరించేడు. ఈ పరిష్కారంతో "గ్రాపు వాదం" (graph theory) అనే శాఖకి పునాది పడింది.

గణిత సంకేతములు

ఆయిలర్ కలన గణితము, టోపోలజీ లలో చాలా ముఖ్యమైన విషయాల కనుగొనెను. నవీన గణిత శాస్త్రములో ప్రత్యేకంగా విశ్లేషక గణితములో వ్యావహారిక పదాలను సంకేతాలను చాలా మటుకు ఆయనే ప్రతిపాదించెను:

• ఒక చలరాశి మరొక చలరాశి మీద ఏ విధంగా ఆధారపడి ఉంటుందో చెప్పడానికి వాడే function (తెలుగులో ప్రమేయము) అనే దానిని $f(x)$ మాదిరి రాయమని సూచించినది ఆయిలర్!
• మరొక ఉదాహరణ: 10 కి బదులు e అనే అక్షరముని "బేస్"గా వాడి, నేచురల్ లాగరిథమ్ అనే భావనని రాయడానికి ఒక పద్ధతిని ప్రవేశపెట్టెను. (eని ఈ రోజుల్లో అయిలర్ నంబరు అని కూడా అంటారు)
• గ్రీకు అక్షరం 'సిగ్మా" (Σ]]ని మొత్తాలను సూచించడానికి వాడమని సలహా ఇచ్చేడు.
• ${\sqrt {-1}}$ (-1 యొక్క వర్గమూలాన్ని) రాయడానికి ఇంగ్లీషు అక్షరం iని వాడమని సూచించి సంకీర్ణ సంఖ్యల అధ్యయనానికి తోడ్పడ్డాడు.

గణిత శాస్త్రమునకు లియొన్‌హార్డ్ చేసిన సహాయములు

ప్రధాన వ్యాసం: Contributions of Leonhard Euler to mathematics

ఆయిలర్ గణిత శాస్త్రము లోని చాలా మటుకు విభాగములలో పని చేసెను. అనగా జామెట్రీ, కలన గణితము, త్రికోణ శాస్త్రము (trigonometry), బీజ గణితము, సంఖ్యా వాదం. 20వ శతాబ్దంలో హంగరీకు చెందిన పాల్ ఎర్డిష్ మాత్రమే లియొన్‌హార్డ్ అంత విస్తృతంగా పని చేసెనని చెప్పుకోవచ్చును.

ఇతర విశేషాలు

• ఆయిలర్ ఆతని గతి శాస్త్రము, దృశా శాస్త్రము మరియి ఖగోళ శాస్త్రములో చేసిన పరిశోధనలకు కూడా ఖ్యాతి గడించెను.
• ఆయిలర్ యొక్క చిత్రము ఆరవ సారి ముద్రితమైన స్విస్ 10-ఫ్రాంక్ ల నోటు పై, అనేక స్విస్, జర్మన్, రష్యన్, తపాలా బిళ్ళ ల పై ముద్రితమైనది.
• గ్రహశకలం "2002 ఆయిలర్"ను కూడా ఆయిలర్ జ్ఞాపకార్థము నామకరణము చేసారు.

తపాలా బిళ్లలు

Euler-USSR-1957-stamp

ఆయిలర్ పేరు మీదుగా కొన్ని దేశాలు తపాలా బిళ్లలు విడదల చేశాయి.

మూలాలు

• జెజ్జాల కృష్ణమోహనరావు, ప్లేటో ఘన స్వరూపాలు, ఈమాట జాల పత్రిక, జనవరి 2008, http://eemaata.com/em/issues/200801/1200.html