ద్విపద విభజనంలో కొద్దిపాటి మార్పులు చేస్తే అది రుణాత్మక ద్విపద విభాజనంగా రూపొందుతుంది.ద్విపద విభజనంలో సఫలాల సంఖ్య '0' నుంచి స్థిర సంఖ్యా ప్రయత్నం వరకూ ఉంటాయి.అదే రుణాత్మక ద్విపద విభాజనంలో ప్రయత్నాలు చలరాశిగానూ, సఫల యత్నాల సంఖ్య స్థిరసంఖ్యగానూ ఉంటాయి.
ప్రతికూల ద్విపద పంపిణీ సంభావ్యత ద్రవ్యరాశి పనితీరు వరుస బెర్నూలి ప్రయత్నాలలో ' r ' సఫలయత్నాల కోసం కచ్చితంగా (x+r) సార్లు ప్రయత్నించినప్పుడు దాని సంభావ్యతను P( x ) అనుకొందాం. ఇటువంటి పరిస్థితులలో ఆఖరి (x+r) వ ప్రయత్నలలో సఫలం అయితే దాని సంభావ్యత ' p ' గానూ,మిగిలిన (x+r-1) ప్రయత్నాలలో ఉన్న(r-1) సఫలితల సంభావ్యత
x
+
r
−
1
C
r
−
1
.
p
r
−
1
.
q
x
.
{\displaystyle ^{x+r-1}C_{r-1}.p^{r-1}.q^{x}.}
P(x)= [(x+r-1) ప్రయత్నాలలో (r-1) సఫలతల సంభావ్యత]
[(x+r) వ ప్రయత్నంలో సంభావ్యత]
x
+
r
−
1
C
r
−
1
p
r
−
1
q
x
.
p
{\displaystyle ^{x+r-1}C_{r-1}p^{r-1}q^{x}.p}
మార్చు
x
+
r
−
1
C
r
−
1
.
p
r
q
x
{\displaystyle ^{x+r-1}C_{r-1}.p^{r}q^{x}}
P(x)=
x
+
r
−
1
C
r
−
1
.
p
r
.
q
x
{\displaystyle ^{x+r-1}C_{r-1}.p^{r}.q^{x}}
అందువల్ల, P(x) అంటే (x+r) ప్రయత్నలలో r వ సఫలతకు ముందు x విఫలతల సంభావ్యత
P(x) =
(
r
+
x
−
1
)
(
r
+
x
−
2
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
[
(
r
+
x
+
1
)
−
(
x
+
1
)
]
x
!
.
p
r
.
q
x
{\displaystyle {\frac {(r+x-1)(r+x-2)...................[(r+x+1)-(x+1)]}{x!}}.p^{r}.q^{x}}
P(x) =
(
−
1
)
x
(
−
r
)
(
−
r
−
1
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(
−
r
−
k
−
1
)
x
!
.
p
r
.
q
x
{\displaystyle {\frac {(-1)^{x}(-r)(-r-1)...........(-r-k-1)}{x!}}.p^{r}.q^{x}}
P(x) =
−
r
C
x
.
(
−
1
)
x
.
p
r
.
q
x
{\displaystyle ^{-r}C_{x}.(-1)^{x}.p^{r}.q^{x}}
−
r
C
x
.
p
r
.
(
−
q
)
x
{\displaystyle ^{-r}C_{x}.p^{r}.(-q)^{x}}
P(x) =
−
r
C
x
.
p
r
.
(
−
q
)
x
{\displaystyle ^{-r}C_{x}.p^{r}.(-q)^{x}}
r పూర్ణాంకం కాకపోయినా కూడా ఆ విభాజనం రుణాత్మక ద్విపద విభాజనం అవుతుంది.
P(x) అనేది r వ సఫలానికి ముందు x విఫలతల సంఖ్య యొక్క సంభావ్యత.
01.బెర్నూలి ప్రయత్నాలలో r వ సఫలిత సాధించదడానిక కావలసిన ప్రయత్నాలను రుణాత్మక ద్విపద విభాజనంగా నిర్వహించవచ్చు.
P
(
X
=
n
)
=
n
−
1
C
r
−
1
.
p
r
.
q
n
−
r
{\displaystyle P(X=n)=^{n-1}C_{r-1}.p^{r}.q^{n-r}}
02. p=1/P ,q=1/Q ఆయీతేQ-P=1 అవుతుంది.
i.e.,(
1
p
−
q
p
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {q}{p}}=1}
−
r
C
x
.
p
r
.
(
−
q
)
x
{\displaystyle ^{-r}C_{x}.p^{r}.{(-q)}^{x}}
P
(
x
)
=
(
−
r
)
C
x
(
1
Q
)
r
(
−
P
Q
)
x
{\displaystyle P(x)=^{(-r)}C_{x}{{({\frac {1}{Q}}})^{r}}{{({\frac {-P}{Q}}})^{x}}}
P
(
x
)
=
(
−
r
)
C
x
.
Q
−
r
.
(
−
P
Q
)
x
{\displaystyle P(x)=^{(-r)}C_{x}.Q^{-r}.{({\frac {-P}{Q}})^{x}}}
(
Q
−
P
)
−
r
{\displaystyle {(Q-P)}^{-r}}
03.గణితీయంగా
x
+
r
−
1
C
r
−
1
.
p
r
.
Q
x
=
(
−
r
)
C
x
.
p
r
(
−
q
x
)
{\displaystyle ^{x+r-1}C_{r-1}.p^{r}.Q^{x}=^{(-r)}C_{x}.p^{r}(-q^{x})}
04.సంభావ్యత విభాజనం
P
(
x
)
=
−
r
C
x
.
p
r
.
(
−
q
x
)
{\displaystyle P(x)=^{-r}C_{x}.p^{r}.(-q^{x})}
05. సమీకరణం
P
(
x
)
=
x
+
r
−
1
C
r
−
1
.
p
r
q
x
{\displaystyle P(x)=^{x+r-1}C_{r-1}.p^{r}q^{x}}
P
(
x
)
=
p
q
x
{\displaystyle P(x)=pq^{x}}
06. రుణాత్మక ద్విపద చలరాశి X యొక్క పరమితులు r,p అయితే దానిని X~NB(r,p) లేదా X~NB(r,1/Q) గా సూచిస్తాం.
μ
1
′
=
r
q
p
{\displaystyle \mu _{1}^{\prime }={\frac {rq}{p}}}
μ
2
′
=
r
(
r
+
1
)
q
2
p
2
+
r
q
p
{\displaystyle \mu _{2}^{\prime }={\frac {r(r+1)q^{2}}{p^{2}}}+{\frac {rq}{p}}}
μ
3
′
=
r
(
r
+
1
)
(
r
+
2
)
q
3
p
3
+
3
r
(
r
+
1
)
q
2
p
2
+
r
q
p
{\displaystyle \mu _{3}^{\prime }={\frac {r(r+1)(r+2)q^{3}}{p^{3}}}+{\frac {3r(r+1)q^{2}}{p^{2}}}+{\frac {rq}{p}}}
μ
4
′
=
r
(
r
+
1
)
(
r
+
2
)
(
r
+
3
)
q
4
p
4
+
6
r
(
r
+
1
)
(
r
+
2
)
q
3
p
3
+
7
r
(
r
+
1
)
q
2
p
2
+
r
q
p
{\displaystyle \mu _{4}^{\prime }={\frac {r(r+1)(r+2)(r+3)q^{4}}{p^{4}}}+{\frac {6r(r+1)(r+2)q^{3}}{p^{3}}}+{\frac {7r(r+1)q^{2}}{p^{2}}}+{\frac {rq}{p}}}
అంకమధ్యమం =
μ
1
=
r
P
=
r
q
p
{\displaystyle \mu _{1}=rP=r{\frac {q}{p}}}
విస్తృతి = =
μ
2
=
r
q
p
2
{\displaystyle \mu _{2}={\frac {rq}{p^{2}}}}
μ
3
=
r
q
(
1
+
q
)
p
3
{\displaystyle \mu _{3}={\frac {rq(1+q)}{p^{3}}}}
μ
4
=
r
q
(
p
2
+
3
q
(
r
+
2
)
)
p
4
{\displaystyle \mu _{4}={\frac {rq(p^{2}+3q(r+2))}{p^{4}}}}
విభాజనం యొక్క ఘాతికోత్పాదక ప్రమేయం
P
(
X
=
x
)
=
(
x
+
r
−
1
x
)
p
r
q
x
;
x
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle P(X=x)={\binom {x+r-1}{x}}p^{r}q^{x};x=0,1,2,\dots }
M
x
(
t
)
=
E
(
e
t
X
)
=
∑
x
=
0
∞
e
t
x
(
x
+
r
−
1
x
)
p
r
q
x
{\displaystyle M_{x}(t)=E(e^{tX})=\sum _{x=0}^{\infty }e^{tx}{\binom {x+r-1}{x}}p^{r}q^{x}}
=
p
r
∑
x
=
0
∞
e
t
x
(
x
+
r
−
1
x
)
(
q
e
t
)
x
{\displaystyle =p^{r}\sum _{x=0}^{\infty }e^{tx}{\binom {x+r-1}{x}}{({qe^{t}})^{x}}}
=
p
r
(
1
−
q
e
t
)
−
r
{\displaystyle =p^{r}{(1-qe^{t})}^{-r}}
=>
M
x
(
t
)
p
r
(
1
−
q
e
t
)
−
r
{\displaystyle =>M_{x}(t)p^{r}{(1-qe^{t})}^{-r}}
P,Q ల లో M_x(t) ని విశదీకరిస్తే ,
=>
M
x
(
t
)
=
p
r
[
p
(
1
p
−
q
e
t
p
)
]
−
r
{\displaystyle =>M_{x}(t)=p^{r}{[p({\frac {1}{p}}-{\frac {qe^{t}}{p}})]}^{-r}}
=
p
r
p
−
r
(
Q
−
P
e
t
)
−
r
{\displaystyle =p^{r}p^{-r}{(Q-Pe^{t})}^{-r}}
=
(
Q
−
P
e
t
)
−
r
{\displaystyle ={(Q-Pe^{t})}^{-r}}
=>
M
x
(
t
)
=
(
Q
−
P
e
t
)
−
r
{\displaystyle =>M_{x}(t)={(Q-Pe^{t})}^{-r}}
మూలబిందువు నుంచి క్యుములెంట్ ఉత్పాదక ప్రమేయాన్ని నిర్వచిస్తే
K
x
(
t
)
=
log
M
x
(
t
)
=
log
(
Q
−
P
e
t
)
−
r
=
−
r
log
(
Q
−
P
e
t
)
{\displaystyle K_{x}(t)=\log M_{x}(t)=\log {(Q-Pe^{t})}^{-r}={-r}{\log(Q-Pe^{t})}}
ద్విపద విభజనం
బెర్నూలి ప్రయత్నం
ఘాతికలు
కేంద్రీయ ఘాతికలు
ఘాతికోత్పాదక ప్రమేయం
![{\displaystyle {\frac {(r+x-1)(r+x-2)...................[(r+x+1)-(x+1)]}{x!}}.p^{r}.q^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb053f512c686a95ff426e0ecc60997c1166dfb)
![{\displaystyle =>M_{x}(t)=p^{r}{[p({\frac {1}{p}}-{\frac {qe^{t}}{p}})]}^{-r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c7b1163b709e9270dc2967c3872b7c5a2dffc0)
