స్వర్ణ నిష్పత్తి

గణితం లో,  రెండు  రాశులలో  వాటి మొత్తము, వానిలో  పెద్ద రాశి యొక్క నిష్పత్తి  ఆ రాశుల నిష్పత్తికి  సమానంగా  ఉంటే ఆ  నిష్పత్తిని  స్వర్ణనిష్పత్తి  అంటారు. కుడి ప్రక్కన గల చిత్రం ఆ నిష్పత్తి యొక్క జ్యామితీయ సంబంధాన్ని తెలియజేస్తుంది. బీజగణిత పరంగా వివరిస్తే ఆ రాశులలో a, b అనునవి a > b > 0 నియమాన్ని పాటిస్తాయి.

రేఖాఖండాలు స్వర్న నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి.

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi ,$

గ్రీకు అక్షరం  ఫై ($\varphi$ లేదా $\phi$) స్వర్ణ నిష్పత్తిని తెలియజేస్తుంది. దాని విలువ: 

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots .$  A001622

 స్వర్ణ నిష్పత్తి అనునది స్వర్ణ సగటు లేదా స్వర్ణ విభాగము (లాటిన్:sectio aurea). గా కూడా పిలువబడుతుంది. యితర పేర్లు అంతములు, మధ్యముల నిష్పత్తి, మీడియల్ విభాగం, డివైన్ అనుపాతం, డివైన్ విభాగం, స్వర్ణ అనుపాతం,, స్వర్ణ సంఖ్యగా పిలువబడుతుంది. 

గణనలు

Binary	1.1001111000110111011...
Decimal	1.6180339887498948482...  A001622
Hexadecimal	1.9E3779B97F4A7C15F39...
Continued fraction	$1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}$
Algebraic form	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$
Infinite series	${\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}$

a, b రాశులు స్వర్ణ నిష్పత్తిలో ఉండాలంటే ఈ క్రింది నియమం పాటించాలి. 

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .$

φ  విలువను కనుగొనడానికి ఒక పద్ధతి ప్రకారం ఎడమ భిన్నంతో మొదలుపెట్టాలి. ఆ భిన్నాన్ని సూక్ష్మీకరించి  b/a = 1/φ ను ప్రతిక్షేపించాలి.

${\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.$

అందువలన,

$1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .$

 φ తో గుణిస్తే

$\varphi +1=\varphi ^{2}$

వాటిని తిరిగి అమరిస్తే

${\varphi }^{2}-\varphi -1=0.$

వర్గసమీకరణాన్ని సాధిస్తే రెండు సాధనలు:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.61803\,39887\dots$

,

$\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.6180\,339887\dots$

 φ అనేది ధన లేదా ఋణ రాశులనిష్పత్తి కనుక   φ ధనాత్మకంగా తీసుకోవాలి. 

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{-2}}=1.61803\,39887\dots$ .