అవకలన సమీకరణాలు

ఒక గణిత సమీకరణంలో వ్యుత్ప్పన్న రాశులు (derivatives) ఉంటే ఆ సమీకరణాన్ని అవకలన సమీకరణం (differential equation) అంటారు. ఒక కారు ఎంత జోరు (speed) గా ప్రయాణం చేస్తున్నాదో చెప్పడానికి వేగం (velocity) అనే పదం వాడతాము. ఈ వేగం ఎంత జోరుగా మారుతోందో చెప్పడానికి త్వరణం (acceleration) అనే మాట వాడతాము. ఇక్కడ వేగం, త్వరణం అనేవి వ్యుత్ప్పన్న రాశులకి ఉదాహరణలు. ఒక గణిత సమీకరణంలో వేగం, త్వరణం వంటి అంశాలు చేర్చినప్పుడు ఆ సమీకరణాన్ని అవకలన సమీకరణం అంటారు.

రేఖీయ అవకలన సమీకరణాలు

ఒక సమీకరణంలోని వ్యుత్ప్పన్న రాశులు ఒకేఒక స్వతంత్ర చలరాశిపై ఆధారపడి ఉంటే ఆ సమీకరణాన్ని సామాన్య అవకలన సమీకరణం (ordinary differential equation) అంటారు. ఒక సమీకరణంలోని వ్యుత్ప్పన్న రాశులు (లేదా, అవకలనాలు) రెండు (లేదా) అంతకంటే ఎక్కువ స్వతంత్ర చలరాశులపై ఆధారపడి ఉంటే ఆ సమీకరణాన్ని పాక్షిక అవకలన సమీకరణం (partial differential equation) అంటారు.

ఐజక్ నూటన్ మూడు రకాల అవకలన సమీకరణాలని పేర్కొన్నాడు:

${\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}$

జేకబ్ బెర్నోలీ Jacob Bernoulli 1695 లో బెర్నోలీ సమీకరణాన్ని ప్రతిపాదించేడు. ఈ సమీకరణం

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

సామాన్య అవకలన సమీకరణానికి ఒక ఉదాహరణ.

పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలలో ఒకటి కంటె ఎక్కువ స్వతంత్ర చలరాశులు ఉంటాయి. ఉదాహరణక లప్లాస్ సమీకరణం ఈ దిగువ చూపిన విధంగా ఉంటుంది.

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$

ఇవి కూడా చూడండి

• చలరాశి

బయటి లంకెలు

• Numerical Solutions of Partial Differential Equations
• Elliptic partial differential equations of second order Elliptic partial differential equations of second order
• V. Vemuri and W. J. Karplus, Digital Computer Treatment of Partial Differential Equations, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1985