ప్రమేయం

గణితంలో, ఫంక్షన్ (function) అన్న ఇంగ్లీషు మాటకి తెలుగులో ప్రమేయం అన్నది సమానార్థకం.

ప్రమేయం f అనేది ప్రవేశాంశం x, ని తీసుకుని తిరిగి ఒకే ఒక నిర్గమాంశం f (x) ని వెలిగక్కుతుంది. ఒక రూపకాలంకారంలో ప్రమేయాన్ని ఒక పెట్టెలా ఊహించుకోవచ్చు; ఈ పెట్టేలోకి పంపే ప్రతీ ప్రవేశాంశానికి దీటుగా ఒక నిర్గమాంశం బయటకి వస్తుంది.

The red curve is the graph of a function f in the Cartesian plane, consisting of all points with coordinates of the form (x, f (x) ). The property of having one output for each input is represented geometrically by the fact that each vertical line (such as the yellow line through the origin) has exactly one crossing point with the curve.

టూకీగా చెప్పుకోవాలంటే, ప్రమేయం ఒక పెట్టె లాంటిది. ఈ పెట్టెకి ఒక పేరు ఉంటే బాగుంటుంది కదా. సర్వసాధారణంగా, ఇంగ్లీషు ప్రపంచంలో, ఇటువంటి పెట్టెకి f అనే పేరు పెడతారు. ఈ పెట్టె లోనికి మనం x అనే అంశాన్ని పంపితే ఈ పెట్టె మరొక అంశాన్ని బయటకి వెలిగక్కుతుంది – అది ఈ పెట్టె లక్షణం. ఈ ప్రక్రియని గణిత పరిభాషలో f (x) అని రాస్తారు. అంటే, “f అనే పెట్టెలోకి x అనే సంఖ్యని పంపితే బయటకి f(x) అనే సంఖ్య వస్తుంది” అని అర్థం. ఈ ప్రక్రియని గణిత పరిభాషలో y = f (x) అని కూడా రాస్తారు. అనగా, y అనేది x యొక్క ప్రమేయం, అనగా 'y విలువ x విలువ మీద ఆధారపడి ఉంటుందీ అని అర్థం.

సర్వసాధారణంగా పెట్టె లోపల ఏమి జరుగుతోందో చెప్పడానికి ఒక సమీకరణం వాడతారు. ఉదాహరణకి, f (x) = x² అని చెప్పేమనుకుందాం. దీని అర్థం ఏమిటంటే పెట్టెలోకి x ని పంపితే, పెట్టె x²ని బయటకి వెలిగక్కుతుంది. ఇంకా వివరంగా చెప్పాలంటే x = 1 అయితే పెట్టె బయటకి 1² = 1 వస్తుంది, x = 2 అయితే పెట్టె బయటకి 2² = 4 వస్తుంది, x = 3 అయితే పెట్టె బయటకి 3² = 9 వస్తుంది. పెట్టె లోపలికి నిజ (వాస్తవ) సంఖ్యలే వెళ్లనక్కర లేదు; సంకీర్ణ సంఖ్యలు (complex numbers) కూడా వెళ్ల వచ్చు; ఉదాహరణకి, x = i అనే కల్పన సంఖ్య అయితే పెట్టె బయటకి i² = -1 అనే నిజ సంఖ్య వస్తుంది.

కొన్ని మాటలు, వాటి నిర్వచనాలు

ఇక్కడ చూపించిన ఉదాహరణలో పెట్టె లోపలికి వెళ్లే x ని ఇంగ్లీషులో input అనిన్నీ, తెలుగులో ప్రవేశాంశం అనిన్నీ అంటారు. లేదా, x ని ఇంగ్లీషులో input variable అనిన్నీ, తెలుగులో ప్రవేశ చలరాసి అనిన్నీ అంటారు. ఇదే విధంగా పెట్టె బయటికి వచ్చే y ని ఇంగ్లీషులో output అనిన్నీ, తెలుగులో నిర్గమాంశం అనిన్నీ అంటారు. లేదా, y ని ఇంగ్లీషులో output variable అనిన్నీ, తెలుగులో నిర్గమ చలరాసి అనిన్నీ అంటారు.

ప్రమేయాలలో రకాలు

గణితంలో రకరకాల ప్రమేయాలు తారస పడతాయి. అవసరాన్ని బట్టి ప్రమేయాలని రకరకాలుగా నిర్వచించి రకరకాల గణిత రూపాలలో రాయవచ్చు. కొన్ని సందర్భాలలో y = f (x) అని రాస్తే సరిపోతుంది. అప్పుడప్పుడు x కీ y కి మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని మరింత వివరంగా చెప్పవలసి వస్తుంది. అప్పుడు f (x) = x² అని వివరించవచ్చు. మరికొన్ని సందర్భాలలో x కీ y కి మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని ఒక "క్రమణిక" (computer program) రూపంలో చూపించవచ్చు. విజ్ఞఆన శాస్త్రంలో ప్రమేయాలని పట్టిక (table) రూపంలో చూపించే ఆచారం కూడా ఉంది. అప్పుడు కొన్ని ప్రవేశాంశాల విలువలని ఒక వరుసలోను, వాటికెదురుగా అనురూప నిర్గమాంశాల (corresponding outputs) విలువలని చూపిస్తారు. ఈ పద్ధతి కంప్యూటరు క్రమణికలు రాసేటప్పుడు సదుపాయంగా ఉంటుంది. కొన్ని సందర్భాలలో ఈ పట్టికలో ఉన్న అంశాలని ఒక గ్రాఫు మాదిరి గీసి చూపిస్తారు (బొమ్మ చూడండి). మరిన్ని సందర్భాలలో ప్రమేయం ఇదీ అని చెప్పకుండా మనకి కావలసిన ప్రమేయం ఒక అవకలన సమీకరణాన్ని (differential equation) పరిష్కరించాలి అని చెప్పవచ్చు.

ఒక ప్రమేయం యొక్క ప్రవేశాంశాన్ని, నిర్గమాంశాన్ని ఒక క్రమ యుగళం (ordered pair) గా కూడా రాయవచ్చు. అలా రాసినప్పుడు యుగళంలో మొదటి అంశం ప్రవేశాంశం, రెండవ అంశం నిర్గమాంశం అవుతాయి. ఉదాహరణకి పైన చూపిన f (x) = x²కి సరిపోయే ఒక క్రమ యుగళం (-3, 9). ప్రమేయం ఒకటి కంటే ఎక్కువ ప్రవేశాంశాలని కలిగి ఉన్నప్పుడు క్రమ యుగళంలో మొదటి అంశం ప్రవేశాంశాల సమితిని సూచిస్తుంది.

అంకగణితంలో లాగే ఇక్కడ కూడా ప్రమేయాలతో సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం, భాగారం చెయ్యవచ్చు.