యాదృచ్ఛిక చలరాశుల రూపాంతరం

యాదృచ్ఛిక చలరాశి X ను అంగుళాలు లేదా అడుగులు లేదా గజం అనే కొలతలలో తీసుకొని,దాని విభాజనం కూడా తెలుసని అనుకొంటే,మన అవసరాల నిమిత్తం వాటి కొలతలు అంగుళాలను సెంటీమీటర్లలోకి మార్చినట్లయితే దాని విలువను చలరాశి Y తో సూచిస్తాం. ఇప్పుడు మన ముందున్న ప్రశ్న ఏమిటంటే Y యొక్క సంభావ్యత విభాజనం ఎంత? అది Xకు సమానంగా ఉంటుందా? అయితే సంభావ్యత విభాజనం Yని కనుక్కోవాలి అంటే సంభావ్యత విభాజనం Xను ఉపయోగించుకోవాలి. ఈ సందర్భాలలో మనం యాదృచ్ఛిక చలరాశి యొక్క రూపాంతరం గురించి తెలుసుకోవడం అవసరం. అంతేకాకుండా బరువు, ఎత్తులు, ప్రదేశం, పరిమాణం, ఉష్నోగ్రత, ఇతర రకాలైన కొలరతలను ఒకదాని నుంచి ఇంకోదానికి మార్చడానికి యాదృచ్ఛిక చలరాశి యొక్క రూపాంతరం అవసరం.

విచ్ఛిన్న రూపాంతరాలు

ఒక విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి X దాని సంభావ్యతా ప్రమేయం PX(x), దాని వ్యాప్తి Rx, Xయొక్క ప్రమేయం Y=g(X) అయితే Y తప్పకుండా విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి, దాని వ్యాప్తి R={Y:Y=g(x);xЄRx}.Y యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్య ప్రమేయం కింది విధంగా ఉంటుంది.

PY(y) =$\sum _{x}\in A_{y}P_{(}x)$

ఇక్కడ $A_{Y}$= {x:x€ $R_{x}$,g(x)=y}; x€$R_{x}$ విలువలు ఇకటికంటే ఎక్కువ ఉంటే g(x)=y అయి $P_{x}$(x) లను సంకలనం చేయగా $P_{Y}$(y) లభిస్తుంది.

సాధించిన సమస్యలు

1.ఉదాహరణ:యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత ప్రమేయం

X	-1	1	2	3
$P_{x}$(x)	1/3	3/8	3/8	1/8

అయితే Y=X^2 యొక్క సంభావ్యత విభాజనాన్ని కనుక్కోండి. సాధన: $R_{Y}$={1,4,9},X:±Y

$P_{Y}(1)$=$P_{X}(-1)$+$P_{X}(1)$=1/8+3/8=1/2

$P_{Y}(4)$=$P_{X}(2)$=3/8

$P_{Y}(9)$=$P_{X}(3)$=1/8.

అయితే Y యొక్క సంభావ్యత విభాజనం కింది విధంగా ఉంటుంది.

Y	1	4	9
$P_{Y}(y)$	1/2	3/8	1/8

అది Y సంభావ్యత న్యాయాన్ని పూర్తిగా చెబుతుంది.

2.ఉదహరణ:యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్య ప్రమేయం ఇవ్వడమైంది.

X	-2	-1	1	2
$P_{X}(x)$	1/8	3/8	3/8	1/8

అయితే Y=4X+3 యొక్క సంభావ్యత విభాజనన్ని కనుక్కోండి. సాధన: Y యొక్క వ్యాప్తి $R_{y}$={-5,-1,7,11}

$P_{Y}(-5)$=$P_{X}(-2)$=1/8

$P_{Y}(-1)$=$P_{X}(-1)$=3/8

$P_{Y}(7)$=$P_{X}(1)$=3/8

$P_{Y}(11)$=$P_{X}(2)$=1/8.

కాబట్టి Y యొక్క సంభావ్యత వభాజనం కింది విధంగా ఉంటుంది.

Y	-5	-1	7	11
$P_{Y}(y)$	1/8	3/8	3/8	11/8

అన్వేక రూపాంతరం

సిద్ధాంతం : అవిచిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి X దాని సంభావ్యత సాంద్రతా ప్రమేయం $f_{X}(x)$. x యొక్క కచ్చితమైన ఏకదిష్టి (ఆరోహణ, అవరోహణ) ప్రమేయం y=g(x).g(x) అనేది x యొక్క అన్ని విలువలకు అవకలని అని అనుకొంటే యాదృచ్ఛిక చలరాశి Y యొక్క సంభావ్యత సాంద్రతా ప్రమేయం కింది విదంగా ఉంటుంది.

$f_{Y}(y)$=$f_{X}(x)$|dx/dy|

ఇక్కడ x ను స్పష్టంగా y లో రాశాం. Y యొక్క వ్యాప్తిని తెలిసిన X యొక్క వ్యాప్తితో కనుక్కోవచ్చ్చు.దానిని ఉపయొగించగా వచ్చే రూపాంతరం y=g(x).

సాదన : సందర్భం (i) : y=g(x) అనేది కచ్ఛితమైన x యొక్క ఆరోహణ ప్రమేయం. (అంటే dy/dx>0). Y యొక్క విభాజన ప్రమేయం కింద ఇవ్వడమైంది.

$F_{Y}(y)$=P(Y≤y)=P[g(X)≤y] = P[X≤g^-1(y)],

$/there4$ $F_{Y}(y)$ = $F_{X}$[g^-1(y)], అనేది X యొక్క విభాజన ప్రమేయం.

అంతేకాకుండా విలోమము, అది ఏకైకం, g(x) అనేది కచ్చితమైన ఆరోహణం.

[there4] $F_{Y}(y)$=$F_{X}$[g^-1(y)], అనేది X యొక్క విభాజన ప్రమేయం.

= $F_{X}(x)$ [. y=g(x) <rArr> x = g^-1(y)]

ఇరువైపుల y దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా

$f_{Y}(y)$ = d/dy[$F_{X}(x)$] = d/dx{$F_{X}(x)$}dx/dy = $f_{X}(x)$dx/dy ………(1)

సందర్భం (ii) y = g(x) అనేది కచితమైన x యొక్క అవరోహణ ప్రమేయం.

$F_{Y}(y)$ = P(Y≤y) = P[g(x)≤y] = P[X≥g^-1(y)]

=1-P[X≤g^-1(y)] = 1-$F_{X}$[g^-1(y)] = 1-$F_{X}(x)$

ఇక్కడ x = g^-1(y), అను వులోమం కలిగి ఉంటుంది, అది ఏకైకం.

ఇరువైపులా x దృష్టా అవకలనం చేయగా

$f_{Y}(y)$ = dx/dy[1-$F_{X}(x)$] = dx/dy = -$f_{X}(x)$ dx/dy = $f_{X}(x)$·-dx/dy ………(2)

సమీకరణం (2) లో తీసుకొన్న రుణాత్మక గుర్తు (-) నిజం, ఎందుకంతే య్ అనేది x యొక్క అరోహణ ప్రమేయం అయితే x అనేది y యొక్క ఆరోహణ ప్రమేయం లేదా dx/dy < 0.

సమీకరణాలు (1),(2) ల నుంచి

$f_{Y}(y)$ = $f_{X}(x)$ |dx/dy| $f_{Y}(y)$ = $F_{(}x)$⁄g′(x)

ఇక్కడ, $f_{Y}(y)$ అనేది Y యొక్క సాంద్రతా ప్రమేయం, dx/dy లేద g′(x) ను జాకోబియన్ రూపాంతరం అని అంటాం. అయితే J = dx/dy లేదా J = 1⁄g′(x).

సంగ్రస్త రూపాంతరం

ఏకదిష్టంకాని రూపాంతరం ; కొన్నిసార్లు రూపాంతరం అని పిలుస్తారు. ఇక్కడ X యొక్క వివిధ బవిలువలు Y యొక్క ఏక విలువకు రూపాంతరం చెబుతుంది.

x₁,x₂, ……x_n అనేది వివిధ విలువలకు x = g^-1(y) అయ్యే విధంగా y అనే ఏక విలువను పొంది ఉంటే లేదా y = g(x) యొక్క ఘాతాలు x₁,x₂ ......x_n ఉంటే $f_{Y}(y)$ ను కనుక్కోవడానికి కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.

$f_{Y}(y)$ = $f_{X}$(x₁) |dx₁/dy| + $f_{X}$(x₂) |dx₂/dy| + ….+ $f_{X}(x)$(x_n) |dx_n/dy|

= $f_{X}$(x₁)|J₁| + $f_{X}$(x_{2/sub>)|J2| +........ + $f_{X}$(xn)|Jn|}

ఇక్కడ J,J₂, .......,J_n లు వరుసగా జకోబియన్ రూపాంతరాలు.

సాంద్రతల చలరాశి యొక్క ఏకఘాత మార్పు

సిద్దాంతం : Y సాంద్రత ప్రమేయం aX+b అయితే X దృష్ట్యా సాంద్రత ప్రమేయం

1/a$f_{X}$(y-b/a) అది $f-(y)_{a}x+b$= 1/a$f_{X}$(y-b/a) అవుతుంది.

నిరూపణ

సందర్భం (i) : a>0 అని తీసుకుంటే

$F_{Y}(y)$ = P(Y≤y) = P[aX+b≤y]

=P(X≤y-b/a)

$F_{X}$(y-b/a) ....(1)

సదర్భం (ii) : a<0 అని తీసుకుంటే

$F_{Y}(y)$ = P(Y≤y) = P[aX+b≤y]

=P(X≤y-b/a)

1-$F_{X}$(y-b/a) .......(2)

సమీకరణం (1) నుంచి

$F_{Y}(y)$ = 1/a $F_{X}$(y-b/a) .....(3)

సమీకరణం (2) నుంచి

$F_{Y}(y)$ = -1/a $F_{X}$(y-b/a) .....(4)

సమీకరణం (3),(4) కలసి, ఒకటిగా రాసినప్పుడు

$F_{Y}(y)$ = 1/|a|$F_{X}$(y-b/a)

ఇక్కడ 1/|a| = |dx/dy| = |J|.

|J| అనేది జకోబియన్ రూపాంతరం సంపూర్ణం విలువ.

యాదృచ్ఛిక చలరాశి యొక్క వర్గ సాంద్రత

సిద్ధాంతం : ఒకవేళ X అనేది $F_{X}(x)$ అనే సాంద్రత కలిగి ఉండి, Y = X^2 అనేది రూంపాతరం అయితే Y యొక్క సాంద్రత

$F_{Y}(y)=$ ${\frac {1}{\sqrt {2y}}}$$F_{X}({\sqrt {y}})+$$F_{X}(-{\sqrt {y}})$}; y≥0 దగ్గర

= 0 ;y<0 ఇతరవి

నిరూపణ : ఇక్కడ రూపాంతరం అన్వేకం కాదు. కాబట్టి,

$F_{Y}(y)=$ P(Y≤y) = P(X^2≤y) గా తీసుకొంటే

= P[-1⁄y≤X≤1⁄y] if y≥0

= $F_{X}({\sqrt {y}})$$-F_{X}(-{\sqrt {y}})$ .......(1)

ఒకవేళ, Y<0, $F_{Y}(y)$=0

[ X^2 = y కు వాస్తవ మూలాలు లేవు. అది y<0 అయినప్పుదడు]

సమీకరణం(1) ని y దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే

$F_{Y}(y)=<math>F_{X}({\sqrt {y}})$$-F_{X}(-{\sqrt {y}})$ ;Y≥0

=0 ;ఇతరవి

ఇవి కూడా చూడండి

• చలరాశి
• విచ్ఛిత్తి
• సాంఖ్యక శాస్త్రం

బయటి లంకెలు

• A Method for Simulating Stable Random Variables
• మల్టివేరియేట్ స్టాటిస్టికల్ మెథడ్స్
• స్టాటిస్టిక్స్ ఫర్ ఎక్స్పెరిమెంటర్స్