ప్రధాన మెనూను తెరువు

యాదృచ్ఛిక చలరాశుల రూపాంతరం

యాదృచ్ఛిక చలరాశి X ను అంగుళాలు లేదా అడుగులు లేదా గజం అనే కొలతలలో తీసుకొని,దాని విభాజనం కూడా తెలుసని అనుకొంటే,మన అవసరాల నిమిత్తం వాటి కొలతలు అంగుళాలను సెంటీమీటర్లలోకి మార్చినట్లయితే దాని విలువను చలరాశి Y తో సూచిస్తాం. ఇప్పుడు మన ముందున్న ప్రశ్న ఏమిటంటే Y యొక్క సంభావ్యత విభాజనం ఎంత? అది Xకు సమానంగా ఉంటుందా? అయితే సంభావ్యత విభాజనం Yని కనుక్కోవాలి అంటే సంభావ్యత విభాజనం Xను ఉపయోగించుకోవాలి. ఈ సందర్భాలలో మనం యాదృచ్ఛిక చలరాశి యొక్క రూపాంతరం గురించి తెలుసుకోవడం అవసరం. అంతేకాకుండా బరువు, ఎత్తులు, ప్రదేశం, పరిమాణం, ఉష్నోగ్రత, ఇతర రకాలైన కొలరతలను ఒకదాని నుంచి ఇంకోదానికి మార్చడానికి యాదృచ్ఛిక చలరాశి యొక్క రూపాంతరం అవసరం.[1]

విచ్ఛిన్న రూపాంతరాలుసవరించు

ఒక విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి X దాని సంభావ్యతా ప్రమేయం PX(x), దాని వ్యాప్తి Rx, Xయొక్క ప్రమేయం Y=g(X) అయితే Y తప్పకుండా విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి, దాని వ్యాప్తి R={Y:Y=g(x);xЄRx}.Y యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్య ప్రమేయం కింది విధంగా ఉంటుంది.

PY(y) = 

ఇక్కడ  = {x:x€  ,g(x)=y}; x€  విలువలు ఇకటికంటే ఎక్కువ ఉంటే g(x)=y అయి  (x) లను సంకలనం చేయగా  (y) లభిస్తుంది.

సాధించిన సమస్యలుసవరించు

1.ఉదాహరణ:యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత ప్రమేయం

X -1 1 2 3
 (x) 1/3 3/8 3/8 1/8

అయితే Y=X^2 యొక్క సంభావ్యత విభాజనాన్ని కనుక్కోండి. సాధన:  ={1,4,9},X:±Y


 = + =1/8+3/8=1/2

 = =3/8

 = =1/8.

అయితే Y యొక్క సంభావ్యత విభాజనం కింది విధంగా ఉంటుంది.

Y 1 4 9
  1/2 3/8 1/8

అది Y సంభావ్యత న్యాయాన్ని పూర్తిగా చెబుతుంది.

2.ఉదహరణ:యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్య ప్రమేయం ఇవ్వడమైంది.

X -2 -1 1 2
  1/8 3/8 3/8 1/8

అయితే Y=4X+3 యొక్క సంభావ్యత విభాజనన్ని కనుక్కోండి. సాధన: Y యొక్క వ్యాప్తి  ={-5,-1,7,11}

 = =1/8

 = =3/8

 = =3/8

 = =1/8.

కాబట్టి Y యొక్క సంభావ్యత వభాజనం కింది విధంగా ఉంటుంది.

Y -5 -1 7 11
  1/8 3/8 3/8 11/8

అన్వేక రూపాంతరంసవరించు

సిద్ధాంతం : అవిచిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి X దాని సంభావ్యత సాంద్రతా ప్రమేయం  . x యొక్క కచ్చితమైన ఏకదిష్టి (ఆరోహణ, అవరోహణ) ప్రమేయం y=g(x).g(x) అనేది x యొక్క అన్ని విలువలకు అవకలని అని అనుకొంటే యాదృచ్ఛిక చలరాశి Y యొక్క సంభావ్యత సాంద్రతా ప్రమేయం కింది విదంగా ఉంటుంది.

 = |dx/dy|

ఇక్కడ x ను స్పష్టంగా y లో రాశాం. Y యొక్క వ్యాప్తిని తెలిసిన X యొక్క వ్యాప్తితో కనుక్కోవచ్చ్చు.దానిని ఉపయొగించగా వచ్చే రూపాంతరం y=g(x).

సాదన : సందర్భం (i) : y=g(x) అనేది కచ్ఛితమైన x యొక్క ఆరోహణ ప్రమేయం. (అంటే dy/dx>0). Y యొక్క విభాజన ప్రమేయం కింద ఇవ్వడమైంది.

 =P(Y≤y)=P[g(X)≤y] = P[X≤g^-1(y)],

    =  [g^-1(y)], అనేది X యొక్క విభాజన ప్రమేయం.

అంతేకాకుండా విలోమము, అది ఏకైకం, g(x) అనేది కచ్చితమైన ఆరోహణం.

[there4]  = [g^-1(y)], అనేది X యొక్క విభాజన ప్రమేయం.

=   [. y=g(x) <rArr> x = g^-1(y)]

ఇరువైపుల y దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా

  = d/dy[ ] = d/dx{ }dx/dy =  dx/dy ………(1)

సందర్భం (ii) y = g(x) అనేది కచితమైన x యొక్క అవరోహణ ప్రమేయం.

  = P(Y≤y) = P[g(x)≤y] = P[X≥g^-1(y)]

=1-P[X≤g^-1(y)] = 1- [g^-1(y)] = 1- 

ఇక్కడ x = g^-1(y), అను వులోమం కలిగి ఉంటుంది, అది ఏకైకం.

ఇరువైపులా x దృష్టా అవకలనం చేయగా

  = dx/dy[1- ] = dx/dy = -  dx/dy =  ·-dx/dy ………(2)

సమీకరణం (2) లో తీసుకొన్న రుణాత్మక గుర్తు (-) నిజం, ఎందుకంతే య్ అనేది x యొక్క అరోహణ ప్రమేయం అయితే x అనేది y యొక్క ఆరోహణ ప్రమేయం లేదా dx/dy < 0.

సమీకరణాలు (1),(2) ల నుంచి

  =   |dx/dy|   =  ⁄g′(x)

ఇక్కడ,   అనేది Y యొక్క సాంద్రతా ప్రమేయం, dx/dy లేద g′(x) ను జాకోబియన్ రూపాంతరం అని అంటాం. అయితే J = dx/dy లేదా J = 1⁄g′(x).

సంగ్రస్త రూపాంతరంసవరించు

ఏకదిష్టంకాని రూపాంతరం ; కొన్నిసార్లు రూపాంతరం అని పిలుస్తారు. ఇక్కడ X యొక్క వివిధ బవిలువలు Y యొక్క ఏక విలువకు రూపాంతరం చెబుతుంది.

x1,x2, ……xn అనేది వివిధ విలువలకు x = g-1(y) అయ్యే విధంగా y అనే ఏక విలువను పొంది ఉంటే లేదా y = g(x) యొక్క ఘాతాలు x1,x2 ......xn ఉంటే   ను కనుక్కోవడానికి కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.

  =  (x1) |dx1/dy| +  (x2) |dx2/dy| + ….+  (xn) |dxn/dy|

=  (x1)|J1| +  (x2/sub>)|J2| +........ +  (xn)|Jn|

ఇక్కడ J,J2, .......,Jn లు వరుసగా జకోబియన్ రూపాంతరాలు.

సాంద్రతల చలరాశి యొక్క ఏకఘాత మార్పుసవరించు

సిద్దాంతం : Y సాంద్రత ప్రమేయం aX+b అయితే X దృష్ట్యా సాంద్రత ప్రమేయం

1/a (y-b/a) అది  = 1/a (y-b/a) అవుతుంది.

నిరూపణ

సందర్భం (i) : a>0 అని తీసుకుంటే

  = P(Y≤y) = P[aX+b≤y]

=P(X≤y-b/a)

 (y-b/a) ....(1)

సదర్భం (ii) : a<0 అని తీసుకుంటే

  = P(Y≤y) = P[aX+b≤y]

=P(X≤y-b/a)

1- (y-b/a) .......(2)

సమీకరణం (1) నుంచి

  = 1/a  (y-b/a) .....(3)

సమీకరణం (2) నుంచి

  = -1/a  (y-b/a) .....(4)

సమీకరణం (3),(4) కలసి, ఒకటిగా రాసినప్పుడు

  = 1/|a| (y-b/a)

ఇక్కడ 1/|a| = |dx/dy| = |J|.

|J| అనేది జకోబియన్ రూపాంతరం సంపూర్ణం విలువ.

యాదృచ్ఛిక చలరాశి యొక్క వర్గ సాంద్రతసవరించు

సిద్ధాంతం : ఒకవేళ X అనేది   అనే సాంద్రత కలిగి ఉండి, Y = X^2 అనేది రూంపాతరం అయితే Y యొక్క సాంద్రత

     }; y≥0 దగ్గర

= 0 ;y<0 ఇతరవి

నిరూపణ : ఇక్కడ రూపాంతరం అన్వేకం కాదు. కాబట్టి,

  P(Y≤y) = P(X^2≤y) గా తీసుకొంటే

= P[-1⁄y≤X≤1⁄y] if y≥0

=    .......(1)

ఒకవేళ, Y<0,  =0

[ X^2 = y కు వాస్తవ మూలాలు లేవు. అది y<0 అయినప్పుదడు]

సమీకరణం(1) ని y దృష్ట్యా అవకలనం చేస్తే

   ;Y≥0


=0 ;ఇతరవి

ఇవి కూడా చూడండిసవరించు

బయటి లంకెలుసవరించు

మూలాలుసవరించు

  1. సాంఖ్యకశాస్త్రం (1 సంపాదకులు.). హైదరాబాద్: తెలుగు అకాడెమీ. 2010. p. 171. More than one of |pages= and |page= specified (help); |access-date= requires |url= (help)