వింత చదరాలు

కొన్ని చదరాలలో కొన్ని సంఖ్యలను నింపినపుడు ఎటు కూడినా ఒక మొత్తం వచ్చినట్లయితే ఆ చదరాలను వింత చదరాలు అంటారు.

చరిత్ర

వివిధ పత్రికలలో వివిధ చదరాలను పూరింపమని యిచ్చి రకరకాల బహుమతులు ప్రకటిస్తుంటారు. మామూలుగా ఈ పజిల్స్ పూర్తి చేయటానికి కొంత అనుభవం కావాలి. సులువు తెలియాలి. అప్పుడే వీటిని సులువుగా పూర్తి చేయవచ్చు.

ఈ చదరాలలో లోపల చిన్న గళ్ళు అనే గదులుంటాయి. వీటిలో అంకెలుంటాయి. ఈ అంకెలను నిలువుగాగాని, అడ్డముగా గాని, అయిమూల గాని కూడితే ఇంత మొత్తం రావాలనో లేదా మధ్యలో కొన్ని గళ్ళ అంకెలను తీసివేసి ఆ అంకెలను చెప్పుకోమనో రకరకాలుగా ఉంటాయి.

ఈ చదరానికి పుట్టు పూర్వోత్తరాలున్నాయి. మన దేశంలో నాసిక్ దగ్గర రాగి రేకులపై చెక్కిన చాలా రకాల చదరాలు దొరికాయట. అందుచేత వీటిని నాసిక్ చదరాలు అంటూ ఉంటారు. లీలావతి గణితములో కూడా యీ చదరాలను నింపు విధానముల గురించి వివరించబడ్డాయి.

ఈ చదరపు గళ్ళలో ఏ పంక్తి సంఖ్యలు కూడినా ఒకే సంఖ్య రావడం వల్ల ఈ చదరాలలో అంకెలు చాల శక్తి వంతమయినవని జనుల నమ్మకం. అందుచేత ఈ చదరాలను తాయెత్తులమీద, రక్ష రేకులమీద గీసి ప్రజలను రకరకాల భయాల నుండి రక్షిస్తున్నట్లు నమ్మించేవారు. ఒకోరకం చదరం దగ్గర యుంటె దుఃఖం పోతుందని నమ్మించేవారు.

ఈ చదరాలు నింపిన తర్వాత ప్రతి చదరంలో అడ్డుగా గాని, నిలువుగా గాని, అయిమాలలోగాని గడులలోని చదరాలను కూడితే ఒకే మొత్తం వచ్చే దాన్ని వింత చదరము అందురు.

మూడవ క్రమం చదరము

మూడవ క్రమ చదరము

ఇపుడు ఈ చదరంలో అడ్డ వరసలలో గాని, నిలువు వరుసలలో గాని, అయిమూల వరుసలలో గాని అంకెల మొత్తం 15 అవుతుంది. ఈ అంకెల మొత్తం 18 రావాలంటే 2 మొదలు 10 వరకు అంకెలు వాడాలి. ఇదే పద్ధతిలో 21,24,27... గల మొత్తాలు రావాలంటే 3,4,5,.... లతో వరుసగా చదరాలు పూరించాలి

లీలావతి గణితంలో చదరం నింపు విధానం

లీలావతి గణితంలో ఈ వింత చదరాన్ని నింపు విధానము వివరింపబడినది. ఈ పద్ధతి బేసి క్రమం చదరాలు అన్నింటికీ వర్తిస్తుంది. ఈ క్రింది పద్యం బేసి క్రమం చదరాల పూరణ గురించి తెలియజేస్తుంది.

సీ।।
విషమ కోష్టములందు విన్యాస మిట్లగు
పూర్వ సిద్దాదిని పొందుగాక
ముఖ పంక్తి మధ్యమమున విడి, చరమ మా
పంక్తినా దక్షిణ భాగమందు
నిలిపి,యాదట గర్ణముల వడనిడు చోట
విస్రమింప, తదూర్ద్య వీధియందు
నాధ్య కోష్టంబున నటుగాని నోటను
నా క్రింది విడఁ దగునా సమాప్తి

ఆ.వె.।।
ముఖ సమాఖ్య పంక్తి మొనయు నోటులనెల్ల
నంత్స పంక్తి నామమందు విడగ
పలయు విషమ భెదముల నిట్లు చెల్లును
సమములందు వివిధ క్రమములగును.

తాత్పర్యం: బేసి క్రమం చదరాలలో మొదటి సంఖ్యను మొదటి వరుస నడిమి ఇంటిలో వ్రాసి, ద్వితీయ సంఖ్యను ఆఖరి వరుస నడిమి యింటికి దక్షిణ గృహములో వ్రాసి, అక్కడ నుండి దక్షిణం వైపు కర్ణమార్గముగ సంఖ్యలు వ్రాయాలి. కర్ణములో చోటు లేనప్పుడు ఏ వీధిని నిలుస్తుందో దానిపై వీధి ముందటి యింటి వ్రాయాలి. అది లేనప్పుడు కర్ణం నిలిచిన యింతి క్రింద కోష్టంలో వ్రాయాలి. మొదటి వరుసకు పోయి నపుడు కడపటి వరుస కుడి యీటనే వ్రాయాలి. అని తాత్పర్యం గడులకు బదులుగ ఇండ్లు, గృహములు, కోష్టములు అనే పదములు వాడబడినవి. పై తాత్పర్యము ఆధారముగ చేసికొని ఏ బేసి క్రమం చదరాన్ని అయిననూ పూరించవచ్చు. ఈ క్రింది విధంగా పూరించవచ్చు.వీటిని బట్టి అదే విధముగా 7X7,9X9 ................. బేసి సంఖ్యలుగా గల భుజములు కలిగిన చతురస్రాకార చదరములను తయారు చేయవచ్చు.

3X3 చదరములో సంఖ్యలు నింపే విధానము-ఎటువైపు కూడినా 15 వస్తుంది.

5X5 చదరములో సంఖ్యలు నింపే విధానము-ఎటువైపు కూడినా 65 వస్తుంది.

నాల్గవ క్రమ చదరము

యిందులో నాలుగు అడ్డు వరుసలు, నాలుగు నిలువు వరుసలు ఉంటాయి. దీనిలోని గళ్ళలో 1 నుండి 16 వరకు సంఖ్యలను ఒక ప్రత్యేక పద్ధతిలో నింపినట్లయితే ఎటునుండి కూడినా 34 వస్తుంది.

మొదటి చిత్రములో విధంగా సంఖ్యలు వ్రాయావి
రెండవ చిత్రంలో విధంగా సంఖ్యలను పరస్పరం మార్చాలి
మూడవ చిత్రంలో ఎటుకూడినా 34 వస్తుంది

నాల్గవ క్రమ చదరము-చరిత్ర

రెవరెండ్ ఆర్.ఫాస్టర్ అనే ఐరోపా దేశస్థుడు మన దేశంలో నాసిక్ సమీపంలో కొన్ని రాగి రేకులపై ఈ చదరాలు గీయటాన్ని కనుగొన్నాడు. ఐరోపా దేశస్థులకు యీ విషయాల గురించి ఎమాన్యుయల్ మెసేక్ పోలస్ అనే వ్యక్తి ఈ చదరాల గురించి ఐరోపా వారికి తెలియ జేశాడు. కార్నియల్ అగ్రిప్పాఅ అనే ఐరోపా దేశస్థుడు శని,బృహస్పతి, కుజుడు,రవి,శుక్రుడు,బుధుడు,చంద్రుడు అని పేర్లు పెట్టికొనొ చదరాలను తయారు చేశాడని తెలుస్తుంది. ప్లేగు వ్యాధి నివారణకు వెండి రేకులపై చెక్కిన చదరాలు నివారిస్తాయని కూడా కొన్ని దేశాల వారు నమ్మేవారట. నాసిక్ దగ్గర బయటబడిన కొన్ని చదరాలు ఈ క్రింది పటంలో చూడవచ్చు.

నాలుగు రకాల వింత చదరాలు

మొదటిరకం చదరం

పై పటంలో చిత్రం-1 మొదటిరక చదరాన్ని సూచిస్తుంది. దీనికి ఆరు ప్రత్యేకతలున్నాయి.

యీచదరములో అడ్డంగా గాని, అయిమూలగాని,నిలువుగా గాని కూడిన 34 వస్తుంది.

ఉదా:-8+11+2+13=34
8+14+9+3=34
8+1+15+10=34

రెండవ క్రమ చదరపు సంఖ్యల మొత్తం కూడా 34 వస్తుంది.

ఉదా:-8+1+14+11=34
2+7+12+13=34
15+10+5+4=34

మూడవ క్రమచదరపు మూల గడుల లోని సంఖ్యలమొత్తం కూడా 34 వస్తుంది.

ఉదా:-8+15+9+2=34
11+4+6+13=34
1+10+16+7=34

ఈ చదరపు మూలగదుల సంఖ్య కూడా 34

ఉదా:-8+13+3+10=34

ఈ చదరపు విచ్ఛిన్న మూల గడుల లోని సంఖ్యల మొత్తం 34

ఉదా:-1+4+16+13=34
5+9+12+8=34
6+7+11+10=34

ఈ చదరపు మూడవ క్రమం చదరపు ఎదుటిమూల గల సంఖ్యలమొత్తం 17

రెండవరకం చదరం

పై పటంలో చిత్రం-2 రెండవ రక చదరాన్ని సూచిస్తుంది.

యీచదరములో అడ్డంగా గాని, అయిమూలగాని,నిలువుగా గాని కూడిన 34 వస్తుంది.
ఈ చదరపు ప్రతి నిలువు వరుసలోనిమొదటి,నాల్గవ గడులలోని సంఖ్యల మొత్తం రెండవ మూడవ గడులలోని సంఖ్యల మొత్తానికి సమానం.

మూడవరకం చదరం

యీచదరములో అడ్డంగా గాని, అయిమూలగాని,నిలువుగా గాని కూడిన 34 వస్తుంది.
ఈ చదరంలో మూల గడుల లోని సంఖ్యలమొత్తం 34.

నాల్గవరకం చదరం

యీచదరములో అడ్డంగా గాని, అయిమూలగాని,నిలువుగా గాని కూడిన 34 వస్తుంది.
ఈ చదరంలో మూల గడుల లోని సంఖ్యలమొత్తం 34.

6 వ క్రమ చదరం

దీనిలో 6X6=36 గళ్ళుంటాయి. అడ్డముగా కూడిన, నిలువుగా కూడిన,అయిమూలగా కూడిన 111 వస్తుంది. దీనిని 1 నుండి 36 వరకు గల అంకెలతో నింపాలి. చిత్రం 1 లోవలె 36 గడుల చదరాన్ని తయారుచేసి దీనిని 4 భాగాలుగా చేయాలి. అపుడు నాల్గు మూడవ క్రమ చదరాలు ఏర్పడుతాయి.ఎడమవైపు పై భాగము 3 వ క్రమ చదరాన్ని 1 నుండి 9 సంఖ్యలతో పైన వివరించిన మూడవ క్రమ చదరం ప్రకారం నింపాలి. తరువాత కుడిపైపు అడుగు భాగము 3 వ క్రమ చదరాన్ని 10 నుండి 18 సంఖ్యలతో పైన వివరించిన మూడవ క్రమ చదరం ప్రకారం నింపాలి. తర్వాత కుడి వైపు పై భాగమును 19 నుండి 27 సంఖ్యలతో నింపాలి. 28 నుండి 36 సంఖ్యలను ఎడమ వైపు క్రింది వైపు గల 3 వ క్రమ చదరంలో నింపాలి. ఇపుడు చిత్రం 1 యేర్పడుతుంది.
ఇపుడు ఎడమ వైపు పై భాగములోని 8,5,4 ఆంకెలను 35,32,21 స్థానముల లోను, 35,32,21 లను 8,5,4 ల స్థానము ల లోకి మార్చి వ్రాసిన చిత్రం-2 యెర్పడుతుంది. యిదియే 6 వ క్రమ చదరం.

6 క్రమ చిత్రం తయారీ విధానమును తెలిపే చిత్రము

8 వ క్రమ చదరము

లియొనార్డ్ ఆయిలర్ చదరము

లియొనార్డ్ ఆయిలర్ తయారుచేసిన 8 వ క్రమ చదరమునకు అడ్డంగా గాని, నిలువుగా గాని, కూడిన 260 వస్తుంది. కాని అయిమూలగా కూడితే 260 రాదు. దీని ప్రత్యేకత యెమిటంటే దీనిని నాలుగు భాగాలుచేస్తే నాలుగు 4 వ క్రమ చదరాలు వస్తాయి. వీటిలో ప్రతి చదరములో అడ్డంగా గాని, నిలువుగా గాని, అయిమూలగాని సంఖ్యలను కూడిన 130 వస్తుంది.

ఆయిలర్ తయారుచేసిన వింత చదరము

బెంజమిన్ ఫ్రాంక్లిన్ చదరము

దీనిని బెంజమింఫ్రాంక్లిన్ తయారు చేశాడు. దీనిలో 1 నుండి 64 సంఖ్యలు వాడబడినవి. దీనిలో అడ్డు వరుస గాని, నిలువు వరుస గాని కూడితే 260 వస్తుంది. ప్రతి వరుసలోనూ సగం దాకా కూడి ఆపితే 130 వస్తుంది. నాలుగు మూల గదుల లోని సంఖ్యలు, చదరానికి మధ్యగల నాలుగు దదుల లోని సంఖ్యలు కూడినా 260 వస్తుంది. ఏ నాలుగు దడుల చదరాన్ని అయినను తీసికొఇ అందు లోని సంఖ్యలు కూడితే 130 వస్తుంది.

బెంజమిన్ ఫ్రాంక్లిన్ తయారుచేసిన వింత చదరము

ఇవి కూడా చూడండి

మాయా చతురస్రం