సముచ్ఛయము

తార్కిక వలయాలలో, గణిత శాస్త్రములో "," అనే సంయోజకమును "తార్కిక సముచ్చయము" అంటారు. "," అనే సంయోజకముతో కలుపబడిన రెండు ప్రవచనాలూ "సత్యము" లైతే తార్కిక సముచ్చయము యొక్క సత్య విలువ "సత్యము" అవుతుంది. కలుపబడిన రెండు ప్రవచనాలలో ఏ ఒక్కటి అసత్యమైనా సముచ్చయము యొక్క సత్యవిలువ "అసత్యము" అవుతుంది. వీటిని "క్యాలిక్యులేటర్", "కంప్యూటర్" లలో ఉపయోగించే తార్కిక వలయాలలో ఉపయోగిస్తారు.

$\scriptstyle A\land B$ యొక్క వెన్ చిత్రము

$\scriptstyle A\land B\land C$ యొక్క వెన్ చిత్రము

సూచించే విధానం

గణిత శాస్త్రములో రెండు ప్రవచనాల మధ్య అనుసంధానంగా సముచ్చయమునకు ∧ గుర్తును ఉపయోగిస్తారు."ఎలక్ట్రానిక్స్"లో $\cdot$ గాను, ప్రొగ్రామింగ్ భాషలలో & or and గాను ఉపయోగిస్తారు.

నిర్వచనము

తార్కిక వలయాలలో రెండు విలువలు సత్యము అయినపుడు మాత్రమే వాటి సంయోజకము సత్యము అయినట్లు ఉపయోగించే సంయోజకమును "సముచ్చయము" అంటారు.

సత్య పట్టిక

Conjunctions of the arguments on the left
The true bits form a Sierpinski triangle

$~A\land B$యొక్క సత్య పట్టిక:

INPUT		OUTPUT
A	B	A ∧ B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

ధర్మములు

commutativity: yes

$A\land B$	$\Leftrightarrow$	$B\land A$
	$\Leftrightarrow$

associativity: yes

$~A$	$~~~\land ~~~$	$(B\land C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$~~~\land ~~~$	$~C$
	$~~~\land ~~~$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$~~~\land ~~~$

distributivity: with various operations, especially with or

$~A$	$\land$	$(B\lor C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$\lor$	$(A\land C)$
	$\land$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\lor$

others

with exclusive or: $~A$ $\land$ $(B\oplus C)$     $\Leftrightarrow$     $(A\land B)$ $\oplus$ $(A\land C)$ $\land$     $\Leftrightarrow$         $\Leftrightarrow$     $\oplus$ with material nonimplication: $~A$ $\land$ $(B\nrightarrow C)$     $\Leftrightarrow$     $(A\land B)$ $\nrightarrow$ $(A\land C)$ $\land$     $\Leftrightarrow$         $\Leftrightarrow$     $\nrightarrow$ with itself: $~A$ $\land$ $(B\land C)$     $\Leftrightarrow$     $(A\land B)$ $\land$ $(A\land C)$ $\land$     $\Leftrightarrow$         $\Leftrightarrow$     $\land$

idempotency: yes

$~A~$	$~\land ~$	$~A~$	$\Leftrightarrow$	$A~$
	$~\land ~$		$\Leftrightarrow$

monotonicity: yes

$A\rightarrow B$	$\Rightarrow$			$(A\land C)$	$\rightarrow$	$(B\land C)$
	$\Rightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\rightarrow$

truth-preserving: yes
When all inputs are true, the output is true.

$A\land B$	$\Rightarrow$	$A\land B$
	$\Rightarrow$
		(to be tested)

falsehood-preserving: yes
When all inputs are false, the output is false.

$A\land B$	$\Rightarrow$	$A\lor B$
	$\Rightarrow$
(to be tested)

బయటి లింకులు

• Wolfram MathWorld: Conjunction