జ్యా

ఒక వృత్తం జ్యా అనగా వృత్తం మీద రెండు అంత్య బిందువులతో వృత్తంలోని భాగాన్ని విభజించే రేఖాఖండం. జ్యా యొక్క పొడిగింపు గీతను సేకాంట్ లేదా సేకాంట్ గీత అంటారు. చాలా సాధారణంగా జ్యా అనగా ఏ వంపు రేఖ పైన ఉన్న రెండు బిందువులను కలిపే విభాగపు రేఖాఖండం, ఆ విధంగా దీర్ఘవృత్తాకారం వరకు పరిమితులు లేవు. వృత్తం యొక్క కేంద్ర బిందువు ద్వారా వెళ్ళిన ఒక జ్యా వృత్తం యొక్క వ్యాసం అవుతుంది. జ్యాను ఆంగ్లంలో కార్డ్ (Chord) అంటారు.

వృత్తం యొక్క జ్యాలు

వృత్త జ్యా ల యొక్క ధర్మములు ఈ క్రింది విధంగా ఉన్నాయి.

వృత్తంలోసమాన పొడవు గల జ్యాలు వృత్త కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి.
ఒక వృత్తం యొక్క కేంద్రకం గుండా వెళ్ళిన జ్యాను వ్యాసం అంటారు, ఇది వృత్తంలో అతి పొడవైన జ్యా.
AB, CD లనే జ్యా లను పొడిగింపగా యేర్పడు రేఖల ఖండన బిందువు "P" అయిన, వాటి పొడవులు AP·PB = CP·PD ని తృప్తిపరుస్తాయి. (బిందు ఘాత సిద్ధాంతం)
వృత్త జ్యా వృత్తాన్ని రెండు వృత్త ఖండాలుగా విభజిస్తుంది.

దీర్ఘ వృత్తము యొక్క జ్యాలు

దీర్ఘ వృత్తంలో సమాంతరంగా ఉన్న జ్యాల యొక్క మధ్య బిందువులు సరేఖీయాలు.

త్రికోణమితి జ్యాలు

గణిత శాస్త్రంలో త్రికోణమితి విభాగం యొక్క అభివృద్ధికి మొదట్లో ఈ జ్యాలను ఉపయోగించేవారు. మొట్టమొదట మనకు తెలిసిన త్రికోణమితీయ పటిక "హిప్పార్‌కస్" ద్వారా తయారుచేయబడింది. అతడు జ్యా యొక్క ప్రమేయాల విలువలను ప్రతి 7.5 డిగ్రీలకు కనుగొన్నాడు. 2 వ శతాబ్దంలో అలెగ్జాండ్రియా దేశానికి చెందిన శాస్త్రవేత్త టోలమీ జ్యాల ప్రమేయాల పట్టికను విస్తరించాడు. దీనిని తన ఖగోళ శాస్త్ర గ్రంథంలో ప్రస్తావించాడు. ఈ గ్రంథంలో ఆయన జ్యా ల యొక్క విలువలను 1/2 నుండి 180 డిగ్రీల వరకు 1/2 డిగ్రీల గుణకాలన్నిటి యొక్క విలువలను పొందుపరిచాడు.ఆయన జ్యాల పొడవులు గణించిన వృత్తం యొక్క వ్యాసం 120 ప్రమాణాలు, జ్యాల పొడవులు కచ్చితంగా 2 భూమిగా కలిగి పూర్ణాంక భాగం తర్వాత 60 అంకెలు గల సంఖ్య.

"జ్యా ప్రమేయం" అనగా జ్యామితి పరంగా ప్రక్క పటంలో చూపబడింది. జ్యా యొక్క కోణం అనగా జ్యా యొక్క చివరి బిందువుల నుండి కేంద్రం కలుపు వ్యాసార్థాల మధ్య కోణం. జ్యా ప్రమేయం (కార్డ్ ప్రమేయం) ఆధునికంగా ఉపయోగించే సైన్ ప్రమేయానికి సంబంధించి ఉంటుంది. ఒక బిందువు (1,0), వెరొక బిందువు (cos, sin ) తీసుకొని పైథాగొరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించు జ్యా పొడవును లెక్కించవచ్చు.

\mathrm {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}=2\sin {\frac {\theta }{2}}.

పై సమీకరణ సాధనలో చివరిమెట్టులో అర కోణం యొక్క ప్రమేయం యొక్క సూత్రాలను వినియోగించడం జరిగింది. నవీన త్రికోణమితి సైన్ ప్రమేయం పై నిర్మించబడితే, పురాతన త్రికోణమితి కార్ట్ ప్రమేయం పై నిర్మించబడింది. హిప్పోర్కస్ జ్యాల పై 12 సంపుటాలలో తన భావాలను తెలియజేశాడు. కానీ ప్రస్తుతం అవి లేవు. బహుశా వాటి నుండి ఒక గొప్ప విషం తెలిసింది. జ్యా ప్రమేయం ప్రస్తుతం కొన్ని తుల్యమైన సంబంధాలను తృప్తి పరుస్తుంది.

Name	సైన్-ఆధారంగా	జ్యా-ఆధారంగా
Pythagorean	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$	$\mathrm {crd} ^{2}\theta +\mathrm {crd} ^{2}(180^{\circ }-\theta )=4\,$
Half-angle	$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,$	$\mathrm {crd} \ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-\mathrm {crd} (180^{\circ }-\theta )}}\,$
Apothem (a)	$c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	$c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}$
Angle (θ)	$c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$	$c=D\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$

ఇవి కూడా చూడండి

బయటి లింకులు

History of Trigonometry Outline
Trigonometric functions Archived 2017-03-10 at the Wayback Machine, focusing on history
Chord (of a circle) With interactive animation