పరివృత్తం

జ్యామితిలో పరివృత్తం అనునది ఒక బహుభుజి యొక్క శీర్షముల గుండా పోయే వృత్తము. ఒక బహుభుజిలో గల అన్ని శీర్షముల గుండా పోయే వృత్తమును ఆ బహుభుజి యొక్క పరి వృత్తము అంటారు. ఆవృత్త కేంద్రమును "పరివృత్త కేంద్రము" అంటారు. పరివృత్త కేంద్రం నుండి బహుభుజిలో ఏదైనా శీర్షం నకు గల దూరాన్ని "పరివృత్త వ్యాసార్థం" అంటారు.

పరివృత్తము, C, చక్రీయ బహుభుజి P యొక్క, పరివృత్త కేంద్రం, O,

ఒక వృత్తం పై అన్ని శీర్షములు గల బహుభుజిని "చక్రీయ బహుభుజి" అందురు. ఒక చతుర్భుజంలో నాలుగు శీర్షములు వృత్తం పై ఉంటే ఆ చతుర్భుజాన్ని చక్రీయ చతుర్భుజం అందురు. అన్ని త్రిభుజములు, దీర్ఘ చతురస్రములు, చతురస్రములు కూడా చక్రీయమవుతాయి.

త్రిభుజములు

పరివృత్త నిర్మాణము(ఎరుపు), పరివృత్త కేంద్రం(ఎరుపు బిందువు))

అన్ని త్రిభుజములు చక్రీయమవుతాయి. అనగా ప్రతి త్రిభుజ శీర్షాల గుండా వృత్తమును గీయవచ్చు. త్రిభుజంలో ఏ రెండు భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువైనా దాని పరి వృత్త కేంద్రమవుతుంది.(లంబ సమద్విఖండనరేఖ అనగా ఒక భుజం యొక్క మధ్య బిందువువద్ద గీసిన లంబ రేఖ) త్రిభుజమునకు మూడు లంబ సమద్విఖండన రేఖలు గీయవచ్చు. ఆ మూడు రేఖలు మిళిత రేఖలు. ఆ మిళిత బిందువు పరివృత్త కేంద్రమవుతుంది. పరివృత్త కేంద్రము త్రిభుజ శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

పరివృత్తం నిర్మించు వేరొక విధానము (చుక్కల రేఖల ఖండన బిందువు)

పరివృత్తమును వేరొక విధంగా గీయవచ్చు. పటంలో చూపినట్లు శీర్షకోణం కొలతను 90 డిగ్రీలలో తీసివేసి వచ్చిన కోణముతో మిగిలిన రెండు శీర్షముల వద్ద రేఖలు గీయవలెను. ఆ రెండు రేఖల ఖండన బింవువు ఆ పరివృత్తమునకు కేంద్రమగును.

పరివృత్తము త్రిభుజ రకము బట్టి ఆధారపది ఉంటుంది.

• అల్పకోణ త్రిభుజం అయితే పరివృత్త కేంద్రం త్రిభుజ అంతరంలో ఉంటుంది.
• అధిక కోణ త్రిభుజం అయితే పరివృత్త కేంద్రం త్రిభుజ బాహ్యంగా ఉంటుంది.
• లంబ కోణ త్రిభుజం అయితే పరివృత్త కేంద్రం కర్ణం యొక్క మధ్య బిందువు వద్ద ఉంటుంది.

• 
  అల్పకోణ త్రిభుజం అయితే పరివృత్త కేంద్రం త్రిభుజ అంతరంలో ఉంటుంది.
• 
  లంబ కోణ త్రిభుజం అయితే పరివృత్త కేంద్రం కర్ణం యొక్క మధ్య బిందువు వద్ద ఉంటుంది.
• 
  అధిక కోణ త్రిభుజం అయితే పరివృత్త కేంద్రం త్రిభుజ బాహ్యంగా ఉంటుంది.

పరివృత్త వ్యాసము ఏదైనా భుజం యొక్క పొడవును ఆ భుజమునకు ఎదురుగా ఉండే కోణం యొక్క సైన్(sine) విలువతో భాగించిన వస్తుంది. పరివృత్త వ్యాసము నవ బిందు వృత్తం వ్యాసమునకు రెట్టింపు ఉంటుంది. ΔABC యొక్క పరివృత్తం యొక్క వ్యాసము

${\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}$

పై సమీకరనములలో a, b, cలు త్రిభుజ భుజాల కొలతలు. s = (a + b + c)/2 అనునది త్రిభుజ చుట్టుకొలతలో సగం.${\sqrt {\scriptstyle {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ అనునది త్రిభుజ వైశాల్యమునకు సూత్రము. త్రికోణమితీయ ప్రమేయాల ఆధారంగా పరివృత్త వ్యాసము

${\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.$

పరివృత్త సమీకరణములు

యూక్లిడియన్ తలములో ఒక త్రిభుజ శీర్షములు A, B, C యొక్క కార్డీజియన్ నిరూపకాలు,

$\mathbf {A} =(A_{x},A_{y})$

$\mathbf {B} =(B_{x},B_{y})$

$\mathbf {C} =(C_{x},C_{y})$ అయితే

క్రింది సమీకరణములు సత్యమయ్యేటట్లు v = (v_x,v_y) అయ్యె బిందువు వ్యవస్థితమవుతుంది.

$|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}$

$|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}$

$|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}$

$|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}$

A, B, C, v బిందువులు ఉమ్మడి కేంద్రం నుండి r దూరంలో కచ్చితంగా ఉంటాయి. ఈ సమీకరణములను మాత్రిక రూపములో చూపవచ్చు.

${\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}$

పరివృత్త నిరూపకాలు

కార్డీజియన్ నిరూపకాలు

పరివృత్తము యొక్క కార్డీజియన్ నిరూపకాలు

$D=2(A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})).\,$ అయితే

$U_{x}=((A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y}))/D,$

$U_{y}=((A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x}))/D$

చక్రీయ చతుర్భుజం

చక్రీయ చతుర్భుజములు

చక్రీయ చతుర్భుజంలో అభిముఖ కోణములు సంపూరకాలు అనగా 180° లేదా π రేడియన్లు

మూలాలు

<మూలాలు/>