బిందువు (జ్యామితి)

రేఖాగణితం టోపోలజీ, యిటువంటి గణిత శాఖలలో "ప్రాదేశిక బిందువు" అనునది ప్రాథమిక భావనగా నిర్వచించవచ్చు. రేఖాగణితంలో బిందువులన్నీ శూన్య పరిమాణం కలిగి ఉంటాయి. అనగా అవి ఘనపరిమాణం, వైశాల్యం, పొడవు లేదా యితర అధిక పరిమాణ సారూప్యత గానీ కలిగి యుండవు. గణిత శాస్త్ర యితర శాఖలలో సమితులు, మూలకము వంటి భావనలు గూర్చి వ్యవహరించేటపుడు "బిందువు"తో సూచిస్తారు.

యూక్లిడ్ తలంలో బిందువు

యూక్లిడియన్ ద్విమితీయ తలంలో గల పరిమితమైన బిందువులు(నీలం రంగు గలవి)

యూక్లిడ్ తలం అంతరంలో బిందువులు అనునవి మౌలికమైన వస్తువులు.ఈ తలంలో బిందువులు ప్రధానమైనవి. వాస్తవంగా యూక్లిడ్ నిర్వచనం ప్రకారం "బిందువులనునవి భాగం లేనివి". ద్విమితీయ యూక్లిడ్ తలంలో బిందువు అనునది సంఖ్యలతో కూడిన క్రమ యుగ్మం (x, y) ను సూచిస్తుంది. ఈ క్రమయుగ్మంలో మొదటి సంఖ్య అడ్డంగా గల నిరూపకాక్షంలో గల బిందువును (x}, రెండవ సంఖ్య నిలువుగా గల నిరూపకాక్షంలో గల బిందువును y సూచిస్తుంది. అదే విధంగా త్రిమితీయ యూక్లిడ్ తలంలో మూడు నిరూపకాలతో కూడిన క్రమ త్రయం (x, y, z) ను కూడా సూచించవచ్చు. ఇందులో మూడవ నిరూపకం x, y లకు లంబంగా ఉండే నిరూపకాక్షంలో గల బిందువు (z) ను సూచిస్తుంది. మరింత సాధారణీకరణంగా ఒక n పదములు గల క్రమ టప్లెట్(అనేక నిరూపకాక్షాలు గల తలం) ను సూచించుటలో ఉపయోగపడుతుంది. అనగా (a₁, a₂, … , a_n) అందులో n అనునది బిందువు ఏ తలంలో కలదో ఆ తలం యొక్క కొలతను సూచిస్తుంది.

యూక్లిడ్ రేఖాగణితంలో జ్యామితికి సంబంధించిన అనేక నిర్మాణాలు అనంతమైన సమూహం గల బిందువులతో కూడి ఉండి కొన్ని సిద్ధాంతాలను ఋజువుచేస్తాయి. ఇది సాధారణంగా బిందువుల సమితిగా సూచించబడుతుంది. ఉదాహరణకు ఒక సరళరేఖ అపరిమితమైన బిందువులతో కూడి ఉండి $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }$ రూపంలో ఉంటుంది. ఇందులో c_n నుండి c₁, dలు స్థిరాంకాలు. n అనేది nపరిమాణ తలాన్ని సూచిస్తుంది. ఇదే విధమైన నిర్మాణాలు తలం, రేఖాఖండం, యితరమైన జ్యామితీయ భావనలకు ఉపయోగపడుతుంది.

అదనంగా నిర్మాణాలకు సంబంధించిన బిందువులను నిర్వచించుటలో యూక్లిడ్ కొన్ని కీలకమైన ప్రతిపాదనలు చేశాడు. ఆయన ప్రతిపాదనల ప్రకారం తలంలో ఏ రెండు బిందువులైనా ఒక సరళరేఖ గుండా పోతాయి. ఈ విషయం యూక్లిడ్ రేఖాగణితంలో నవీనవిస్తరణలలో సులువుగా నిరూపించబడింది. యూక్లిడ్ బిందువుల కొరకు చేసిన ప్రతిపాదనలు పూర్తికాలేదు, కచ్చితంగా లేవు.

యివి కూడా చూడండి

• Accumulation point
• Affine space
• Boundary point
• Critical point
• Cusp
• Position (geometry)
• Pointwise
• Singular point of a curve

మూలాలు

• Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
• De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
• Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
• Whitehead A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
• --------, 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
• --------, 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.

యితర లింకులు

• Definition of Point with interactive applet
• Points definition pages, with interactive animations that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference
• http://planetmath.org/point